곱이 6일 때는 어느 인수도 0일 필요가 없다

(x-1)(x+2)=6

예시 답안은 “ $x-1=0$ 또는 $x+2=0$ 이므로 $x=1,-2$ ”이다. 처음 고쳐야 할 줄을 찾으시오.

곱의 값부터 확인

$x=1,-2$ 를 원래의 식에 넣으면 왼쪽은 모두 0이다. 오른쪽 6과 같지 않다. 곱이 0이라는 조건에서 쓰는 판단을 곱이 6인 식에 옮긴 것이 첫 오류다.

\begin{gathered}x^2+x-2=6\\\therefore x^2+x-8=0\end{gathered}

x=\frac{-1\pm\sqrt{33}}2

근의 공식으로 구한 두 값을 마지막 답에 남긴다. 반드시 처음 주어진 식에 대입할 필요는 없다. 위에서 정리한 이차방정식을 만족하면 $x^2+x=8$ 이고, 처음 왼쪽은 $x^2+x-2=6$ 이 되어 검산된다.

Bowen Kerins는 인수분해를 가르치는 목적을 논의하면서, 곱이 0인 방정식의 조건을 먼저 분석한다고 적었다. 새 문항은 이미 인수분해되어 있다는 모양 때문에 그 조건을 건너뛰는 답안을 만들었다.

교사가 동료와 설명을 공유할 때 ‘괄호가 있으니 각각 0’이라는 규칙이 남지 않게 하자. 무엇의 곱이며 그 곱이 얼마인가를 답안 첫 줄에서 확인하면 인수분해를 더 시키기 전에 오해를 짚을 수 있다.

수업에서는 $(x-1)(x+2)=0$ 을 옆에 놓고 두 문항의 답이 왜 다른지 묻는다. 식의 모양은 같고 오른쪽의 조건만 달라졌다는 점을 학생이 말하게 하면, 다음 풀이를 선택할 기준도 분명해진다.

출처·착안: Bowen Kerins, 「Factoring Non-Monic Quadratics」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.