서로 배반인 두 사건은 독립이라는 말의 경계

P(A)=0.4, P(B)=0.5, A∩B=∅입니다. 교집합 확률 0과 두 확률의 곱 0.2가 달라 독립이 아닙니다. 배반과 독립이 함께 성립하는 경우는 적어도 한 사건의 확률이 0일 때입니다. 양의 확률인 현재 사례와 경계를 따로 확인합니다.

P(A)=0.4,\qquad P(B)=0.5,\qquad A\cap B=\varnothing

배반이면 독립이라는 주장을 검토하고, 두 성질이 함께 가능한 경계도 확인하자.

P(A\cap B)=0,\qquad P(A)P(B)=0.2.

독립에 필요한 두 값이 다르므로 현재는 독립이 아니다. 네 칸의 확률은 두 사건 모두 0, A만 0.4, B만 0.5, 둘 다 아님 0.1로 실제 배반 조건도 가능하다.

배반일 때 독립까지 성립하려면 P(A)P(B)=0이어야 한다. 확률은 음수가 아니므로 적어도 한 사건의 확률이 0인 경우이고, 이 조건이면 곱과 교집합 확률이 모두 0이라 충분하다.

두 개념은 항상 다르다고 과하게 정정하지 않는다. A가 불가능한 사건인 예도 남기고, 양의 확률을 가진 두 배반사건이라는 조건을 분명히 표시하게 하자.

출처·착안: Allan Rossman, 「#69 More probability questions」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.