서로 배반인 두 사건은 독립이라는 말의 경계
P(A)=0.4, P(B)=0.5, A∩B=∅입니다. 교집합 확률 0과 두 확률의 곱 0.2가 달라 독립이 아닙니다. 배반과 독립이 함께 성립하는 경우는 적어도 한 사건의 확률이 0일 때입니다. 양의 확률인 현재 사례와 경계를 따로 확인합니다.
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수업 설계
학생 답안과 교사의 질문을 통해 수학 수업을 설계하는 이야기
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최댓값이 6일 확률, 두 번의 1/6을 더하면 끝일까
공정한 주사위를 독립적으로 두 번 던지고 X를 두 눈의 최댓값으로 정합니다. X=6 확률은 1/6+1/6−1/36=11/36입니다. 일반적으로 P(X=k)=(2k−1)/36, k=1,…,6입니다. 같은 여섯 값이 가능해도 각 확률은 같지 않습니다.
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평균 점수를 높이는 선택과 10점 이상 지키는 선택은 다르다
현재 10점이며 멈추면 10점입니다. 공정한 주사위를 한 번 더 던져 1이면 0점, 2~6이면 10에 눈을 더한 뒤 반드시 멈춥니다. 평균은 지금 멈춤 10, 한 번 더 35/3입니다. 10점 이상일 확률은 각각 1과 5/6이라 두 목표의…
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분산의 합 공식이 맞았다고 두 변수가 독립일까
X=−1,0,1을 각각 확률 1/3로 갖고 Y=X²입니다. V(X)=2/3, V(Y)=2/9, V(X+Y)=8/9라 분산 합은 맞습니다. 그러나 P(X=0,Y=0)=1/3과 두 확률의 곱 1/9는 달라 독립이 아닙니다. 공식이 맞은 결과와 그 전제의 증명을 구별합니다.
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두 사건씩 독립인 세 사건, 모두 동시에 곱해도 될까
공정한 동전을 독립적으로 두 번 던집니다. A=첫째 앞면, B=둘째 앞면, C=두 결과가 같음입니다. 각 확률은 1/2, 어느 두 사건의 교집합도 HH 하나로 1/4입니다. 세 사건 교집합 역시 1/4라 세 확률의 곱 1/8과 다릅니다.
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항을 바꾸어 놓아도 합이 같으면 같은 등차수열일까
유한한 네 항 A:1,3,5,7, B:1,5,3,7입니다. 전체합은 모두 16이지만 A는 공차 2인 등차수열, B는 차 4,−2,4로 등차가 아닙니다. 첫 두 항의 합도 4와 6입니다. 같은 네 값과 전체합만으로 번호별 정보가 같아지지 않습니다.
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25% 늘렸다 25% 줄인 길이, 처음 길이로 돌아갈까
길이 64를 25% 늘려 80, 그 결과를 25% 줄이면 60입니다. 같은 비율의 기준 길이가 달라 +16과 −20이 됩니다. 80에서 64로 돌아가려면 20% 감소입니다. 같은 두 변화를 반복한 홀수 번호 길이는 64(15/16)ⁿ⁻¹입니다.
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등차수열의 가운데값 5, 뽑힌 값의 평균도 5일까
값 1,3,5,7,9 중 1은 확률 1/2, 나머지 네 값은 각각 1/8로 고릅니다. X의 평균은 1/2+(3+5+7+9)/8=3.5입니다. 다섯 항의 단순평균 5와 다릅니다. 각각 같은 확률 1/5로 고르면 평균 5가 됩니다.
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등차수열 두 개를 더하면 등차, 곱해도 등차일까
aₙ=n+1, bₙ=2n−1, n은 자연수입니다. 항별 합은 3n으로 공차 3인 등차수열입니다. 곱은 2n²+n−1, 인접 차는 4n+3이라 등차가 아닙니다. 한쪽이 상수 수열이면 곱도 등차가 될 수 있어, 이번 반례를 모든 곱의 결론으로 넓히지 않습니다.
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홀수와 짝수 번호의 항이 각각 등차면 전체도 등차일까
a₂ₙ₋₁=1+4(n−1), a₂ₙ=b+4(n−1), n=1,2,…, b는 실수입니다. 전체 수열이 등차이려면 두 인접 차 b−1과 5−b가 같아 b=3, 공차는 2입니다. b=4면 1,4,5,8,…의 차가 3,1로 번갈아 바뀝니다. 홀수·짝수 목록의 공차 4만으로 전체를 판정하지 않습니다.
