수업 설계

중심(0,0,h)인 구를 z=0에서 자른 원 반지름3, z=4에서 자른 원 반지름5입니다. R²−h²=9, R²−(4−h)²=25를 풀면 h=4, R=5입니다. 중간h=2라면 두 단면 반지름도 같아야 하므로 현재 조건과 맞지 않습니다.

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A(1,1,0), B(−1,1,0), C(−1,−1,0), D(1,−1,0)를 모두 지나는 구입니다. 중심은(0,0,c), 반지름√(2+c²)로 모든 실수c에서 가능합니다. 중심도z=0 위라는 조건을 추가해야 원점·반지름√2로 정해집니다.

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P(0,0,2), Q(4,0,3), 같은 X는z=0 위입니다. 개별 최소거리2와3을 같은X에서 동시에 얻지 못합니다. Q′=(4,0,−3)을 쓰면 합≥√41이고 X=(8/5,0,0)에서 달성합니다. 실제 최솟값은5가 아닌√41입니다.

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A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(1,1,1)입니다. BC중점은(1,1,0)이라 D와xy좌표만 같고 z는 다릅니다. ABC의 평면z=0에 D가 없어 네 점은 한 평면이 아닙니다. D의z를0으로 고치면 모두 포함됩니다.

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A(0,0,0), B(2,0,0), C(4,0,0)는 서로 다르지만 x축 위입니다. z=0과 y=0 평면에 모두 속해 평면은 하나가 아닙니다. C=(0,1,0)으로 바꾸면 한 직선 위에 있지 않아 z=0 하나로 정해집니다.

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α:x+y+z=3, β:2x+2y+2z=6, γ:2x+2y+2z=7입니다. β는α와 같지만 γ는 평행한 다른 평면이고 거리는1/(2√3)입니다. 법선뿐 아니라 식 전체의 상수항도 같은 배율인지 확인합니다.

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A(0,0,0), B(4,0,0), C₁(0,3,3√3), C₂(1,3,√30)입니다. 두 정사영 넓이6, ACᵢ와 xy평면 각60도는 같지만 원래 넓이는12와2√39입니다. 넓이 공식에 필요한 각은 두 평면의 각입니다.

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구 x²+y²+(z−2)²=9와 xy평면의 교선 반지름은√5입니다. 구 위 점들의 정사영 영역은 x²+y²≤9, 경계 반지름3입니다. 중심을(0,0,6)으로 옮기면 교선은 없지만 정사영 영역은 같습니다.

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A(3,0,0), B(0,3,0), C(0,0,3)의 삼각형은 세 변3√2로 넓이9√3/2입니다. xy평면 정사영은 두 직각변3의 삼각형이라 넓이9/2입니다. 넓이비1/√3은 두 평면 예각의 코사인과 같습니다.

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xy평면 z=0에서 방향벡터 v=(0,1,1)인 원점을 지나는 직선을 봅니다. x축 방향과 내적0이지만 y축 방향과는1이므로 평면에 수직이 아닙니다. 두 방향 모두에 수직인 w=(0,0,c), c≠0이 법선 방향입니다.

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