평면 안의 한 직선에 수직, 평면에도 수직일까

\alpha:z=0,\qquad \vec v=(0,1,1)

원점을 지나고 방향벡터가 v인 직선은 x축에 수직이다. 이 조건만으로 xy평면에도 수직일까?

\vec v\cdot(1,0,0)=0,\qquad \vec v\cdot(0,1,0)=1.

y축 방향에는 수직이 아니므로 평면에 수직이 아니다. 한 방향 검사만으로 평면 전체의 결론을 얻지 못한다.

일반적인 w=(a,b,c)에서 두 내적이 모두 0이면 a=b=0이다. c≠0일 때 w=(0,0,c)는 평면의 법선 방향이며 모든(p,q,0)과도 내적 0이다.

서로 평행한 두 직선을 확인하면 같은 방향을 두 번 검사한 것이다. 평면 위의 평행하지 않은 두 방향을 확인했는지, 직선의 방향이 영벡터는 아닌지 함께 읽게 하자.