가상 게임에는 번호1부터30까지의 카드가 한 장씩 있고, 모두 같은 확률로 골라요. 소수는1보다 큰 자연수 중 양의 약수가1과 자기 자신뿐인 수예요. 1은 소수가 아니에요. 짝수 카드를 전부 빼고 남은 카드에서 균등하게 고르면, 소수를 뽑을 확률이 정확히 두 배가 될까요?
처음에는30장 중 소수 카드가2,3,5,7,11,13,17,19,23,29의 열 장이에요. 소수를 뽑을 확률은10/30, 즉1/3입니다. 짝수를 빼면 후보가15장으로 줄지만, 유일한 짝수 소수2도 빠져 성공 카드는 아홉 장이에요. 다른 짝수는2로 나누어지면서2보다 커서 소수가 아니에요. 1은 남아 있지만 여전히 실패 카드예요.
원래1/3의 두 배는2/3이므로0.6과 달라요. 실제 증가 배율은 다음과 같아요.
홀수 카드에2만 다시 넣는 규칙이라면 후보16장에 소수 열 장으로 확률은10/16=0.625입니다. 성공 카드와 전체 후보가 모두 늘었어요. 어느 규칙을 비교하는지에 따라 분자와 분모를 함께 새로 세어야 해요.
후보를 절반으로 줄였을 때 성공 확률이 두 배가 되려면 성공 후보가 전부 살아남아야 해요. 여기서는 예외 하나인2가 차이를 만들어요. 이 확률은 남은 카드에서 한 번 뽑을 때의 값이에요. 카드를 거르는 시간이나 처리 비용까지 계산한 효율은 아니에요.
참고한 수학 개념: Plus · Maths in a minute: The prime number theorem.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.