매달린 줄과 포물선은 세 점이 맞아도 네 번째 높이가 다를 수 있다
대칭 지수함수와 포물선은 −1,0,1의 높이를 맞출 수 있다. 2의 높이에는 정확히 2c²라는 차이가 남는다.
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도형과 시각화
도형의 위치·크기·방향·분할·연속 변화나 실제 시각적 표현을 통해 관계를 이해하는 글.
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같은 넓이인데 내부 격자점은 하나씩 달라진다
같은 넓이의 격자다각형에서 경계 점 수와 내부 점 수가 교환되는 관계를 읽는다.
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두 점을 지나는 원이 한 직선에 접할 때 중심은 하나일까
A=(−1,0), B=(1,0)을 지나고 x=2에 접하는 원은 중심(0,±√3), 반지름2인 두 개입니다. ‘중심의 y좌표가 양수’이면 하나지만 ‘첫째사분면’이면 해가 없습니다. 추가 조건의 말과 좌표를 함께 확인합니다.
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네 면의 평면까지 거리가 같으면 입체 안의 구일까
꼭짓점 (1,1,1),(1,−1,−1),(−1,1,−1),(−1,−1,1)의 사면체를 봅니다. Q=(−1,−1,−1)에서 네 면의 평면까지 거리는 모두 2/√3입니다. 하지만 Q는 입체 밖입니다. 거리의 절댓값과 내부 조건을 따로 확인합니다.
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타원에 수직인 두 접선을 그은 교점은 어떤 원 위에 있을까
타원 x²/9+y²/4=1의 서로 수직인 두 접선 교점은 x²+y²=13 위입니다. 기울기 식의 근의 곱−1로 얻고, u=±3은 세로 접선 x=±3과 가로 접선 y=±2로 따로 확인합니다. 필요조건과 전체 자취를 구별합니다.
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입체를 두 배로 키운다고 같은 방정식이 유지되지는 않는다
S의 모든 점을 원점 중심으로 각 좌표가 두 배가 되도록 확대한다. 확대된 도형의 방정식을 구하라. 원래 방정식이 그대로 유지된다는 주장에 점 하나를 이용해 답한다.
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타원의 중심과 선분의 중점을 이으면 그 선분에 수직일까
타원 x²/9+y²/4=1과 y=x+1의 두 교점 중점은 (−9/13,4/13)입니다. 중심에서 중점으로 간 벡터와 선분 방향의 내적은−5/13입니다. 원의 수직이등분선 성질이 그대로 옮겨지지 않습니다.
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법선벡터를 반대로 잡으면 두 평면의 작은 각도 달라질까
x=0과 −x+y=0의 법선은 135°를 만들 수 있습니다. 같은 평면식을 반대로 쓰면 45°입니다. 평면 사이의 작은 각은 법선의 부호와 관계없이 45°입니다.
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접힌 선 두 개로 원 안의 점을 되찾는다
원 x²+y²=10 안쪽의 같은 점에 둘레의 두 점을 각각 겹치게 접은 자국이 x=2, y=2다. 두 대칭 조건의 후보 (1,1),(3,3) 중 원 안쪽인 답은 (1,1) 하나다.
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법선벡터의 z성분이 0이면 수선의 발의 z좌표는 어떻게 될까
평면 3x+4y=12에 z가 없다고 수선의 발의 z좌표가 0은 아닙니다. P=(0,0,7)에서 법선 방향으로 움직이면 z=7이 그대로 남습니다.
