두 점을 지나는 원이 한 직선에 접할 때 중심은 하나일까

A=(−1,0), B=(1,0)을 지나고 직선 x=2에 접하는 원을 모두 구하라. 중심이(0,k)라는 사실만으로 k를 양수라고 정하지 않는다.

r^2=1+k^2,\qquad r=2\quad\Longrightarrow\quad k=\pm\sqrt3.

원의 중심은 A와 B에서 같은 거리에 있어 x=0 위에 있다. 중심에서 x=2까지의 거리는 항상2이므로 접하는 원의 반지름도2다.

따라서 두 원의 방정식은 다음과 같다.

x^2+(y-\sqrt3)^2=4,\qquad x^2+(y+\sqrt3)^2=4.

각 원에 A,B를 대입하면1+3=4다. 접점은 각각(2,√3), (2,−√3)이며 접선 x=2는 그 접점의 반지름과 수직이다. 둘 다 원래의 세 조건을 만족한다.

그림에서 중심을 A,B 위쪽에 먼저 그려 두면 음의 k를 버리기 쉽다. 그러나 중심이 첫째사분면에 있다는 조건을 덧붙이면 오히려 해가 없다. 중심의 x좌표가0이므로 첫째사분면의 내부가 아니기 때문이다. y좌표가 양수라는 조건이라면 위쪽 원 하나가 남는다.

교사는 추가 조건의 표현을 좌표와 대조한다. ‘위쪽’과 ‘첫째사분면’은 현재 문항에서 같은 말이 아니다. 부호를 하나 고르기 위해 조건을 넣었다가 가능한 원을 모두 제거하지 않았는지 확인할 수 있다.

이 문항은 A,B의 거리만으로 반지름을1로 고정하는 오답도 드러낸다. 두 점을 지나는 원이 반드시 AB를 지름으로 갖는 것은 아니다. 접선 조건이 반지름2를 정하며 그 뒤에 중심의 두 후보가 결정된다.

조건을 고친 뒤에는 접점도 다시 확인한다. 위쪽 원 하나를 택했으면 접점의 y좌표도 양수다. 중심만 남기고 실제 접점이 지정한 직선 위에 있는지 빼먹지 않는다.