양의 정수 x,y가 x²+y²−3xy=−1을 만족한다고 하자. (x,y)를 (y,3y−x)로 바꾸어도 해인지 확인하고, (1,1)에서 반복하여 서로 다른 해를 끝없이 만들 수 있음을 설명하라.
y를 고정하고 x에 관한 이차방정식으로 보면 두 근의 합은 3y다. 이미 아는 근 x를 다른 근 3y−x로 바꾸는 것이 조작의 시작이다. 마지막에 두 좌표를 바꾸어 다음 단계의 같은 형태를 얻는다.
직접 전개해도 검산된다.
처음 (1,1)은 해다. 이어서 (1,2),(2,5),(5,13),(13,34)가 나온다. 1≤x≤y일 때 3y−x≥2y이므로 새 좌표가 양의 정수이고 y≤3y−x다. 새 둘째 값이 반드시 커지므로 반복한 해가 되돌아오는 일도 없다.
몇 개의 큰 해를 발견했다는 사실과 무한히 다른 해를 만든다는 증명은 다르다. 후자에는 식의 보존, 양수 조건의 보존, 엄격한 증가가 함께 필요하다. 이 조작이 모든 양의 정수해를 찾는다는 분류까지 증명한 것은 아니므로 해설에서도 그 주장을 덧붙이지 않는다.
착안 원문: NZMO 2025 Round 1, Problem 8. 위 조건·문항과 해설은 새로 구성했다. 원문의 문항이나 그림을 번역·재사용한 것이 아니다.