양의 정수 h에 대해 다음 네 점의 볼록껍질인 사면체를 만든다. 안과 경계를 합친 정수 좌표 점 수와 부피가 h에 따라 어떻게 달라지는가?
사면체의 모든 점에서 0≤x,y≤1이다. 격자점이라면 x,y는 각각 0 또는 1이다. 점을 αO+βA+γB+δD로 쓰되 계수는 0 이상이고 합은 1로 놓으면 x=β+δ,y=γ+δ,z=hδ다.
x,y가 (0,0),(1,0),(0,1)일 때는 각각 O,A,B만 남는다. (1,1)이면 β=γ=1−δ이고 계수 합 1 조건에서 α=δ−1이다. α≥0,δ≤1이므로 δ=1이고 D다. 따라서 다른 격자점은 없다.
밑면 OAB의 넓이는 1/2, 높이는 h다. 같은 네 격자점이라는 정보가 같은 부피를 보장하지 않는다.
옥스퍼드의 소개는 1899년 픽의 평면 공식과 1957년 Reeve의 3차원 반례를 연결한다. 여기서는 그 역사적 장애를 직접 확인할 좌표 모형을 제시했다. “차원만 하나 늘리면 비슷한 공식”이라는 추측을 입체의 높이 하나가 막는다.
착안 원문: Connecting the Dots with Pick’s Theorem. 위 조건·문항과 해설은 새로 구성했다. 원문의 문항이나 그림을 번역·재사용한 것이 아니다.