단위 정사각 격자에서 직사각형 R의 꼭짓점은 (0,0),(2,0),(2,3),(0,3)이다. 삼각형 T의 꼭짓점은 (0,0),(4,0),(0,3)이다. 두 넓이는 같은데 내부의 정수 좌표 점 수도 같은가?
여기서 I는 내부, B는 경계의 격자점 수이며 꼭짓점도 B에 한 번씩 포함한다.
직사각형의 경계에는 서로 다른 격자점이 열 개 있다. 안쪽에는 (1,1),(1,2) 두 점이다. 삼각형의 경계는 가로 네 구간과 세로 세 구간, 빗변 한 구간으로 세어 여덟 점이다. 빗변은 3x+4y=12이므로 두 끝점 외에 정수 좌표 점이 없다.
삼각형 내부는 (1,1),(2,1),(1,2) 세 점이다. 직접 목록과 공식이 같은 결과를 내는지도 확인한다.
같은 넓이에서는 I+B/2가 고정된다. 경계 점이 두 개 줄면 내부 점이 한 개 늘어야 한다. 이는 둘레의 길이가 두 단위 줄었다는 뜻은 아니다. 경계 점과 경계 길이는 다른 대상이다.
학생에게 먼저 내부 점을 표시하게 한 다음 공식을 제공하면, 넓이를 알고도 내부 점이 결정되지 않는 이유를 읽을 수 있다. 경계 점 정보까지 있어야 한다는 조건을 말로 보충하게 한다.
착안 원문: Connecting the Dots with Pick’s Theorem. 위 조건·문항과 해설은 새로 구성했다. 원문의 문항이나 그림을 번역·재사용한 것이 아니다.