두 교점을 P,Q, 그 중점을 M이라 하자. 원에서처럼 중심 O와 M을 잇는 직선은 PQ에 수직인가?
직선의 식을 타원의 방정식에 넣으면 13x²+18x−27=0이다. 판별식이1728>0이므로 서로 다른 두 교점이 있다. 두 근의 합은−18/13이어서
PQ의 방향벡터가 (1,1)이므로 OM은 PQ에 수직이 아니다. 두 점의 중점을 정확히 구한 계산과, 그 중점에 연결한 선분이 수직이라는 판단은 별개의 단계다.
원에서는 중심에서 두 끝점까지의 거리가 같아서 수직이등분선 위에 중심이 있다. 이 타원에서는 O부터 P,Q까지의 거리가 일반적으로 같지 않다. 타원의 중심이라는 이름만으로 원의 반지름 조건을 옮길 수 없다.
교사는 두 교점의 좌표를 긴 근호로 모두 쓰기 전에 중점만 필요한지 묻는다. 두 근의 합과 y=x+1을 이용하면 중점의 두 좌표가 정해진다. 계산량을 줄여도 교점이 실제 두 개라는 판별식 확인은 남긴다.
이 예에서 M은 원점과 다르므로 OM의 방향도 정해진다. 선분이 중심을 지나 중점이 O가 되면 영벡터로 수직인 직선의 방향을 말할 수 없다. 그런 예는 이 반례의 비교 조건에 맞지 않는다.
채점은 중점 좌표와 내적을 분리한다. 중점을 맞힌 뒤 원의 성질이라고 수직을 단정한 답에는 어떤 길이의 동일함이 필요한지 되묻는다.
내적이0인지까지 계산해야 수직이라는 판단을 끝낼 수 있다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Conic Sections Foldable」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.