두 평면까지 거리가 3과 4면 교선까지 거리는 4일까
P=(3,4,5),α:x=0,β:y=0의 교선은(0,0,t)입니다. 교선까지 거리의 제곱은25+(5−t)²라 최솟값은5입니다. 두 평면까지 거리3,4 중 큰 값을 고르는 계산은 맞지 않습니다.
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도형과 시각화
도형의 위치·크기·방향·분할·연속 변화나 실제 시각적 표현을 통해 관계를 이해하는 글.
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꼬인 두 직선 위 기준점의 거리가 두 직선의 거리일까
꼬인 직선 P=(t,t,0), Q=(1+s,−s,2)의 최단거리는2입니다. 식에 적힌 두 기준점의 거리√5가 답은 아닙니다. 제곱합이 4 이상임을 보이고 그 값을 이루는 두 점을 찾습니다.
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지름의 양끝에서 직각을 이루는 점은 평면의 원에만 있을까
∠APB=90°의 공간 자취는 지름 AB인 구 위의 점들에서 A,B를 뺀 부분입니다. 한 평면의 원만 고르면 점을 빠뜨리고, 두 끝점을 넣으면 각이 정의되지 않습니다.
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같은 두 삼각형으로 만들면 둘레도 보존될까
두 수직 변1인 같은 직각이등변삼각형 두 조각으로 정사각형과 큰 삼각형을 만들면 넓이는 둘 다1입니다. 둘레는4와2+2√2로 다릅니다. 붙인 변은 두 번씩 외곽에서 빠집니다.
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넓이가 정수인 정사각형은 정수 격자에 모두 그릴 수 있을까
정수 격자 정사각형의 넓이는 p²+q²입니다. 넓이3은 불가능하지만 넓이2는(0,0),(1,1),(0,2),(−1,1)로 가능합니다. 변 길이√2는 정수가 아니어도 네 꼭짓점 좌표는 정수입니다.
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정사면체에서 꼭짓점까지의 거리와 면까지의 거리는 같을까
꼭짓점이 (1,1,1),(1,−1,−1),(−1,1,−1),(−1,−1,1)인 정사면체의 중심은 원점입니다. 꼭짓점까지 √3, 면까지 1/√3이므로 두 구의 반지름 비는 1/3입니다. 점까지의 거리와 평면까지의 거리를 구별합니다.
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증가함수와 역함수 아래 넓이를 더하면 정사각형 하나가 된다
증가함수와 역함수 아래 넓이를 더하면 정사각형 하나가 된다
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각을 반으로 나누는 방향은 두 벡터의 합이면 충분할까
(6,0)+(0,2)=(6,2)는 90°를 반으로 나누지 않습니다. 각각 크기로 나눈 뒤 더한 (1,1)은 45° 방향입니다. 단위벡터를 만드는 이유를 확인합니다.
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중심이 같은 원과 타원의 교점은 반지름에 따라 몇 개일까
타원 x²/9+y²/4=1과 중심이 같은 원 x²+y²=R²의 교점은2<R<3에서4개, R=2·3에서2개입니다. 제곱 좌표 한 쌍이 원래 점 한 개라는 뜻은 아닙니다. 부호와0인 좌표를 함께 셉니다.
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원의 중심이 놓인 직선 전체가 실제 가능한 중심일까
A=(0,0),B=(2,0),C=(t,1)을 지나는 원의 중심은(1,(t−1)²/2)입니다. 중심은 x=1 전체가 아니라 y≥0인 부분만 나옵니다. k≥0이면 t=1±√(2k)로 실제 중심을 만들 수 있습니다.
