네 점이 만드는 정사면체에서 원점 O를 중심으로 모든 꼭짓점을 지나는 구와 모든 면에 접하는 구의 반지름을 비교하라.
네 꼭짓점까지의 거리는 모두 √3이다. 따라서 첫 구의 반지름 R=√3이다. 면 BCD를 포함하는 평면은 x+y+z=−1이고 O에서 이 평면까지의 거리는
다른 세 면도 부호만 달라 같은 거리를 갖는다. 두 반지름은 같지 않다.
접점이 실제 삼각형 면 안에 있는지도 확인한다. BCD에 내린 수선의 발은 (−1/3,−1/3,−1/3)으로 B,C,D의 무게중심이다. 나머지 면도 같으므로 작은 구가 네 면에 실제로 접한다.
정사면체라는 조건은 여섯 모서리를 계산해서 확인할 수 있다. 어느 두 꼭짓점의 차도 두 성분이 ±2, 나머지 한 성분이0이므로 길이는 모두2√2다. 좌표의 대칭만 보고 도형 이름을 붙이지 않는다.
교사는 “모든 꼭짓점까지 같다”와 “모든 면까지 같다”의 대상을 나누어 읽게 한다. 앞은 두 점 사이 거리, 뒤는 점과 평면 사이 수직거리다. 같은 중심에서 재더라도 출발하는 공식과 끝점이 다르다.
그림에서는 큰 구가 꼭짓점을 지나고 작은 구가 면 안의 점에 닿도록 표시한다. 반지름 두 개를 같은 선분으로 그리면 계산에서 구별한 조건이 다시 섞인다.
두 구가 같은 중심을 가진다는 조건도 놓치지 않는다. 중심을 바꾸어 얻은 다른 구의 반지름과 섞으면 여기서 묻는 비교가 달라진다.
출처·착안: だいばっち, 「プラトン立体 3Dビジュアライザーで見る基礎情報～黄金比との関係」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.