네 작은 사면체의 부피가 같으면 네 면까지 거리도 같을까
O=(0,0,0), A=(6,0,0), B=(0,4,0), C=(0,0,2), G=(3/2,1,1/2)입니다. G가 나눈 네 사면체의 부피는 모두 2지만 면까지 거리는 3/2,1,1/2,3/7입니다. 서로 다른 밑면에서 같은 부피가 같은 높이를 뜻하지는 않습니다.
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도형과 시각화
도형의 위치·크기·방향·분할·연속 변화나 실제 시각적 표현을 통해 관계를 이해하는 글.
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포물선 두 접선의 교점과 두 접점의 중점은 같은 높이에 있다
포물선 y²=4x의 접점(t²,2t),(s²,2s)에서 t≠s입니다. 접선 교점Q=(ts,t+s), 현 중점M=((t²+s²)/2,t+s)라 높이는 같지만 가로 차는(t−s)²/2입니다. 접점·교점·중점을 구별합니다.
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직사각형 안의 가장 큰 원은 중심 하나로 정해질까
직사각형0≤x≤6,0≤y≤4 안에 넣는 원의 최대 반지름은2입니다. 중심은(h,2),2≤h≤4 전체가 가능합니다. (3,2)만이 아닙니다. 최대 반지름의 유일성과 중심의 유일성은 다른 질문입니다.
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두 축까지 같은 거리인 점은 y=x만 남을까
점(x,y)에서 x=0, y=0까지 거리는|x|와|y|입니다. 같음 조건은 y=x만 아니라 y=−x도 포함합니다. (1,−1)과 원점을 직접 넣어 빠진 부호·끝점 조건을 확인합니다.
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점근선 두 개가 같으면 쌍곡선의 축 방향도 같을까
x²−y²=1과x²−y²=−3의 점근선은 모두y=±x입니다. 하지만 후자는 y²/3−x²/3=1이라 꼭짓점(0,±√3)·초점(0,±√6)의 세로 방향 쌍곡선입니다. 점근선만으로 방향과 크기를 정하지 않습니다.
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z축을 따라 잰 2와 평면까지의 최단거리는 다르다
3x+4y+12z=24는 z축에서 높이 2에 닿습니다. 원점에서 평면까지의 최단거리는 24/13입니다. 정확한 교점을 찾은 뒤에도 이동 방향을 확인해야 합니다.
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한 접점에서 구의 접선도 하나로 정해질까
구 x²+y²+z²=4의 P=(0,0,2)에서 접평면은 z=2 하나입니다. 하지만 (t,0,2), (0,t,2)는 서로 다른 두 접선입니다. 대입하면 둘 다 t=0에서만 만납니다.
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타원 위 두 점의 거리가 가장 클 때 반대쪽이면 충분할까
타원 x²/9+y²/4=1 위 서로 다른 P,Q의 거리 최댓값은6, 점은(±3,0)입니다. 중심 대칭인(0,±2)는 거리4라 최대가 아닙니다. PQ≤OP+OQ≤6의 두 등호 조건을 함께 확인합니다.
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두 직사각형을 겹쳤는데 바깥 변은 몇 개일까
R₁:0≤x≤4,0≤y≤2와 R₂:2≤x≤6,1≤y≤3을 합칩니다. 바깥 경계는 8변·둘레 18입니다. 각 둘레 12를 더한 24는 내부로 들어간 선도 셉니다. 바깥 꼭짓점을 한 바퀴 나열해 확인합니다.
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두 제곱근을 변의 길이로 삼으면 넓이의 범위도 따라온다
u=√(x−1), v=√(3−x)를 직사각형의 두 변으로 쓰려면 1<x<3입니다. 넓이는 √(1−(x−2)²)로 x=2에서 최대 1. 근호가 계산되는 끝값 1,3에서는 변 하나가 0입니다.
