평행한 두 접선 사이 거리는 두 접점 사이 거리일까
타원 x²/9+y²/4=1의 접선 y=x±√13. 직선 사이 거리는√26이지만 두 접점 사이 거리의 제곱은388/13입니다. 접점 연결이 접선에 수직인지 내적부터 검사하면 두 거리의 차이가 보입니다.
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도형과 시각화
도형의 위치·크기·방향·분할·연속 변화나 실제 시각적 표현을 통해 관계를 이해하는 글.
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타원의 접선은 중심에서 그은 선에 언제나 수직일까
타원 x²/9+y²/4=1 위 P=(3√2/2,√2)의 접선은 2x+3y=6√2입니다. OP 방향 (3,2)와 접선의 법선 (2,3)은 평행하지 않습니다. 원의 반지름 수직 조건을 타원에 옮겼는지 확인합니다.
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두 평면에 주어진 원이 같은 구를 자른 결과일까
z=0의 원(x−1)²+(y−2)²=9, y=0의 원(x−1)²+(z−3)²=4는 같은 구의 절단 결과가 아닙니다. 중심 후보(1,2,3)에서 R²가18과8로 충돌합니다. 둘째 우변14라면 R²=18인 구가 실제로 가능합니다.
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외분비 1:1을 공식에 넣었을 때 분모 0은 무슨 뜻일까
A=(0,0), B=(4,0)의 외분점은 2:1이면 (8,0), 1:2이면 (−4,0)입니다. 1:1인 외분점은 없습니다. 분모 0을 기하의 존재 조건으로 설명해 봅니다.
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세 점을 고르는 84가지가 모두 삼각형은 아니다
3×3 좌표점9개에서 세 점을 고르는 경우는84지만 삼각형은76개입니다. 가로3·세로3·대각선2의 일직선 세 점을 빼야 합니다. 제외한8개가 전부라는 설명도 확인합니다.
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정육면체의 서로 다른 공간대각선은 수직일까
정육면체 공간대각선 방향(1,1,1)과(−1,1,1)의 내적은1입니다. 작은 각의 코사인은1/3이므로 수직이 아닙니다. 같은 중점에서 만난다는 사실은 각90°를 보장하지 않습니다.
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두 원의 교점에서 접선들이 수직인지 어떤 각을 볼까
반지름3·4, 중심 O=(0,0), C=(5,0)의 두 원. 교점P=(9/5,±12/5)에서 OP·CP=0이라 두 접선도 수직입니다. 비교할 각은 P에 모인 두 반지름의 각입니다. 두 원의 교점 존재도 먼저 확인합니다.
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원을 계속 바꾸면 원 위 점들의 합집합도 원일까
중심(a,b)이 a²+b²=1 위를 움직이는 반지름1 원들을 모읍니다. 어느 원의 경계에 놓일 수 있는 점 전체는 x²+y²≤4입니다. 각 원의 경계만 모았는데 합집합에는 내부점도 들어갑니다. 범위와 실제 중심 구성을 함께 확인합니다.
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각도를 같은 간격으로 넣으면 타원 위 점 사이 거리도 같을까
타원점(3cosθ,2sinθ)에 θ=0°,45°,90°를 넣습니다. 이웃 거리 제곱은31/2−9√2와21/2−4√2로 다릅니다. 같은 각도 입력 간격이 타원 위 같은 거리 간격을 보장하지 않습니다.
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두 구의 방정식을 빼서 얻은 평면이 공통점 전체일까
두 구 x²+y²+z²=9, (x−4)²+y²+z²=9의 식을 빼면 x=2지만 공통점 전체는 아닙니다. 원래의 구의 방정식도 남겨야 y²+z²=5인 원이 됩니다. (2,0,0)을 대입해 빠진 조건을 찾습니다.
