세 축과 모두 만나지 않는 평면에도 방정식은 있다
2x+3y=6은 z축과 만나지 않습니다. 그래도 법선벡터 (2,3,0)를 갖는 평면입니다. 교점이 없다는 판단과 평면이 없다는 판단을 구별해 봅니다.
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도형과 시각화
도형의 위치·크기·방향·분할·연속 변화나 실제 시각적 표현을 통해 관계를 이해하는 글.
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세 목표점을 지나는 경로를 만들어도 구간을 확인해야 한다
세 목표점을 모두 지나는 하나의 포물선 경로를 만든다. 첫 목표부터 마지막 목표까지의 부분만 남길 때 식과 정의역을 함께 구하라. 같은 식에서 정의역을 [2,5]로 바꾸면 어떤 목표가 빠지는가?
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천장 한 점을 통과해도 넓은 장애물을 피한 것은 아니다
높이가 같은 장애물도 폭이 달라지면 충돌 여부가 바뀐다. 이차방정식의 교점과 선분이 차지하는 구간을 함께 읽어 보자.
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한 평면 위가 아닌 네 점의 변 중점들은 한 평면에 있을까
A=(0,0,0),B=(2,0,0),C=(0,2,2),D=(0,0,2)는 한 평면 위가 아닙니다. 네 변의 중점은 모두 x−y+z=1 위이고 마름모를 만듭니다. 중점의 반대 변 벡터가 각각 AC/2, BD/2로 같아지는 이유를 확인합니다.
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오른쪽 이동과 가로 늘이기의 순서를 바꾸면 같은가
오른쪽1 이동과 가로2배 확대는 순서를 바꾸면 꼭짓점이2와1로 갈린다. 식보다 먼저 꼭짓점을 추적해 보자.
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초점을 준선 위에 두면 거리 조건은 포물선을 만들까
초점으로 정한 F=(0,0)이 준선 y=0 위에 있으면 같은 거리의 자취는 x=0입니다. “초점을 직선 위쪽에 둔다”는 안내의 위치 조건을 빼면 포물선이 되지 않습니다.
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격자에서 점·선·칸을 각각 세면 이차항이 사라진다
격자의점·선·칸은 각각이차식으로늘어도 V−E+F는1이다. 같은그림에서무엇을세었는지먼저표시하자.
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세 좌표축과 이루는 각이 모두 같으면 평면은 하나일까
원점을 지나고 세 좌표축과 같은 예각을 이루는 평면은 x±y±z=0의 네 개입니다. 법선 성분은 절댓값이 같고 부호는 다를 수 있습니다. 각 정보와 위치 정보를 함께 확인합니다.
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두 좌표평면에 연달아 대칭시키면 원점 대칭일까
xy평면 대칭 뒤 xz평면 대칭을 하면 (x,y,z)→(x,−y,−z)입니다. 원점 대칭과 다릅니다. 두 번이라는 횟수보다 어느 좌표가 바뀌었는지 추적합니다.
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상자의 길이 모형을 바꾸면 최적 높이도 달라진다
두 상자의 치수를 다음처럼 정한다. A는 높이 x, 정사각형 밑면 한 변 24−x이고 0<x<24이다. B는 높이 x, 밑면 한 변 24−2x이고 0<x<12이다. 두 모형의 부피를 각각 최대로 만드는 x가 같은지 판단하라. 모든 길이의 단위는 cm이다.
