정육면체의 꼭짓점 네 개를 고르면 항상 한 평면 위일까
정육면체 꼭짓점8개 중4개를 고르는70가지에서 한 평면 위인 선택은12개입니다. 여섯 면 외에 대각선 방향 평면도 있습니다. 위·아래층의 점 수로 나누어 빠짐없이 셉니다.
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도형과 시각화
도형의 위치·크기·방향·분할·연속 변화나 실제 시각적 표현을 통해 관계를 이해하는 글.
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초점만 위로 옮긴 포물선은 원래 곡선의 평행이동일까
준선 y=0을 고정하고 초점을 (0,2)에서 (0,4)로 옮기면 x²=4(y−1)이 x²=8(y−2)로 바뀝니다. 꼭짓점의 이동만으로 평행이동이라고 판단할 수 없습니다.
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초점을 지나는 현이 모두 장축은 아니다
초점 (√5,0)을 지나는 세로 현의 길이는 8/3입니다. 타원 x²/9+y²/4=1의 장축 길이 6을 임의의 현에 쓰지 않도록 대상부터 확인합니다.
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새로 붙인 13칸과 전체 49칸, 어떤 수열의 항일까
n단계는 한 변에 단위칸 n개인 정사각형입니다. b₁=1, 추가량 bₙ=n²−(n−1)²=2n−1입니다. 7단계에는 13칸을 붙이지만 전체는 49칸입니다. 오른쪽 7칸과 위쪽 나머지 6칸을 세어 모서리를 두 번 더하지 않습니다.
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한 방향에 둘 다 수직이면 서로 평행하다는 결론
a=(1,0,0), b=(0,0,1), c=(cosθ,sinθ,0), 0≤θ≤90°입니다. a·b=b·c=0이지만 a,c의 각은 θ로 0~90° 모두 가능합니다. 이 범위는 문항의 θ 제한에서 나온 것이며, 두 수직 조건만으로 a와 c가 평행하지는 않습니다.
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수선의 발이 밑면 밖이면 사면체 부피 공식도 달라질까
A(0,0,0), B(3,0,0), C(0,4,0), P₁(1,1,6), P₂(7,9,6)입니다. 밑면 넓이 6, 두 높이 6이므로 사면체 부피는 모두 12입니다. P₂의 수선의 발 (7,9,0)이 삼각형 밖이라는 이유로 공식을 바꾸지 않습니다.
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구의 중심을 지나는 평면을 접평면이라고 써도 될까
구 (x−1)²+(y−2)²+(z−3)²=4의 중심은 (1,2,3), 반지름은 2입니다. z=3과 만나면 반지름 2인 원, z=5에서는 (1,2,5) 한 점입니다. 접평면은 중심을 지나는 평면이 아니라 중심까지 거리가 반지름인 평면입니다.
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두 단면의 반지름이 다르면 구의 중심은 두 평면의 중간일까
중심(0,0,h)인 구를 z=0에서 자른 원 반지름3, z=4에서 자른 원 반지름5입니다. R²−h²=9, R²−(4−h)²=25를 풀면 h=4, R=5입니다. 중간h=2라면 두 단면 반지름도 같아야 하므로 현재 조건과 맞지 않습니다.
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네 꼭짓점을 지나는 구의 중심, 점 하나로 정해질까
A(1,1,0), B(−1,1,0), C(−1,−1,0), D(1,−1,0)를 모두 지나는 구입니다. 중심은(0,0,c), 반지름√(2+c²)로 모든 실수c에서 가능합니다. 중심도z=0 위라는 조건을 추가해야 원점·반지름√2로 정해집니다.
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두 좌표로 만든 같은 식, 공간의 네 점도 한 평면일까
A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(1,1,1)입니다. BC중점은(1,1,0)이라 D와xy좌표만 같고 z는 다릅니다. ABC의 평면z=0에 D가 없어 네 점은 한 평면이 아닙니다. D의z를0으로 고치면 모두 포함됩니다.