넓이는 그대로인데 직사각형이 아니게 된 그림
직사각형 A(0,0), B(2,0), C(2,1), D(0,1)을 (x,y)→(x+2y,y)로 바꿉니다. 새 도형의 넓이도 2지만 이웃한 변의 내적은 4입니다. 넓이를 보존했다고 직각도 보존한 것은 아닙니다.
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도형과 시각화
도형의 위치·크기·방향·분할·연속 변화나 실제 시각적 표현을 통해 관계를 이해하는 글.
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네 꼭짓점은 같은데, 연결 순서도 생략해도 될까
A(0,0), B(4,0), C(4,3), D(0,3)입니다. ABCD는 직사각형이지만 ACBD로 이으면 변이 (2,1.5)에서 교차합니다. 같은 점 목록과 같은 도형은 다릅니다.
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대각선이 수직인 사각형, 네 변의 길이도 같을까
A(−2,0), B(0,1), C(3,0), D(0,−1)에서 대각선은 수직입니다. 그러나 변 길이의 제곱은 5와 10으로 달라 마름모가 아닙니다. 대각선의 중점도 서로 다릅니다.
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3과 4인 두 벡터를 더하면 크기도 7일까
a=(3,0), b=(0,4)이면 합의 크기는5입니다. 두 크기3,4를 유지하며 방향을 바꾸면 합의 크기는1~7입니다. 반대 방향1, 수직5, 같은 방향7이므로 길이만 더한7을 모든 경우의 답으로 쓰지 않습니다.
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x²의 계수가 양수인데, 꼭짓점은 위아래에 있다
x²−y²+2x−4y=0에서 x²의 계수가 양수라고 방향을 바로 정할 수 없습니다. 완전제곱을 만들면 (y+2)²−(x+1)²=3입니다. 상수까지 옮긴 표준형으로 판단합니다.
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타원 위에서 초점까지 가장 가까운 점은 장축의 끝일까
타원 x²/25+y²/9=1과 초점 F(4,0)을 줍니다. PF의 최솟값은 1, 최댓값은 9입니다. 원점까지의 거리 OP는 3부터 5까지입니다. 어느 점까지의 거리인지 먼저 표시합니다.
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접기 전 원의 중심이, 접은 타원의 중심도 될까
O(0,0), F(4,0)에서 PO+PF=6입니다. 중심은 O가 아니라 (2,0)이고, 타원의 방정식은 (x−2)²/9+y²/5=1입니다. 거리합 6을 반지름으로 읽은 원의 식과 비교합니다.
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반지름을 평균낸 뒤 제곱하면 단면적의 합과 달라진다
반지름을 평균낸 뒤 제곱하면 단면적의 합과 달라진다
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|f(x)|와 f(|x|)는 어느 부분을 옮기는가
f=x−1에서 |f(x)|와 f(|x|)의 꼭짓점은 각각 (1,0), (0,−1)입니다. x=0의 함수값도 1과 −1로 다릅니다. 절댓값이 함수값을 바꾸는지 입력을 바꾸는지 구별해 보세요.
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잘라낸 모서리의 길이를 정할 때 끝점은 실제 상자일까
한 변이 12 cm인 정사각형 종이의 모서리를 x cm씩 잘라 접은 상자: V=x(12−2x)², 실제 범위는 0<x<6입니다. x=2에서 부피는 최대 128 cm³. 끝점에서 부피식을 계산하는 것과 실제 상자를 만드는 것을 구별해 보세요.
