수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

|f(x)|와 f(|x|)는 어느 부분을 옮기는가

f=x−1에서 |f(x)|와 f(|x|)의 꼭짓점은 각각 (1,0), (0,−1)입니다. x=0의 함수값도 1과 −1로 다릅니다. 절댓값이 함수값을 바꾸는지 입력을 바꾸는지 구별해 보세요.

흔들린 수면에 산과 구름이 비치는 모습

사진: Ximonic (Simo Räsänen) · CC BY-SA 4.0 · 원본 출처

f(x)=x−1A(x)=∣f(x)∣,B(x)=f(∣x∣) \begin{aligned}f(x)&=x-1\\A(x)&=|f(x)|,\quad B(x)=f(|x|)\end{aligned}

절댓값이 있으니 같은 그래프일까? 먼저 x=0을 넣자.

비교 A(x)=|x−1| B(x)=|x|−1
x=0 1 −1
x=−2 3 1
꼭짓점 (1,0) (0,−1)

두 함수는 다르다.

절댓값이 바꾸는 대상

  • |f(x)|: 함수값이 음수인 부분을 x축에 대하여 대칭이동한다.
  • f(|x|): x≥0인 부분을 남기고, 그 부분을 y축에 대하여 대칭이동해 x<0인 부분을 만든다.

모두 V 모양이라는 관찰만으로 같은 그래프라고 할 수 없다. 해외의 식·그래프 맞추기를, 절댓값의 위치와 대칭이동의 대상을 구별하는 비교로 바꿨다.

출처·착안: Shaun Carter, 「Quadratic Vertex Form Card Sort」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.