수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

두 단면의 반지름이 다르면 구의 중심은 두 평면의 중간일까

중심(0,0,h)인 구를 z=0에서 자른 원 반지름3, z=4에서 자른 원 반지름5입니다. R²−h²=9, R²−(4−h)²=25를 풀면 h=4, R=5입니다. 중간h=2라면 두 단면 반지름도 같아야 하므로 현재 조건과 맞지 않습니다.

구의 중심 (0,0,h),z=0 단면 반지름 3,z=4 단면 반지름 5 \begin{aligned}&\text{구의 중심 }(0,0,h),\\&z=0\text{ 단면 반지름 }3,\\&z=4\text{ 단면 반지름 }5\end{aligned}

중심 높이 h와 구의 반지름 R을 구하자. 두 평면의 중간 h=2라는 제안도 확인한다.

R2−h2=9,R2−(4−h)2=25⇒8h−16=16. \begin{aligned}R^2-h^2&=9,\\R^2-(4-h)^2&=25\\&\Rightarrow\quad 8h-16=16.\end{aligned}

따라서 h=4, R²=25이고 양수 반지름 R=5다. 원래 두 식에 대입하면 단면 반지름 3과 5가 각각 복원된다.

h=2이면 중심에서 두 평면까지 거리가 같아 단면 반지름도 같아야 한다. 현재 조건과 모순이다. 두 단면 반지름을 같게 주면 h=2가 되는 비교도 확인하자. 그림의 가운데 위치를 추측하기 전에 두 단면 조건을 연립하고 반지름 양수까지 검산한다.

출처·착안: Mark Chubb, 「Can you visualize this?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.