정육면체의 꼭짓점 네 개를 고르면 항상 한 평면 위일까

한 변1인 정육면체의 꼭짓점8개에서 서로 다른4개를 고른다. 네 점이 한 평면 위에 있는 선택은 몇 개인가? 모형의 종이 두께는 무시하고 정확한 정육면체로 본다.

전체 선택은70개지만 한 평면 위인 선택은12개다. 위·아래 두 정사각형 층에 고른 점이 몇 개 놓이는지 나눈다.

한 층의 세 점은 그 층의 평면을 결정하므로 다른 층 점을 넣을 수 없다. 두 층에서 두 점씩 고르면 두 선분을 포함하는 직선이 평행해야 같은 평면에 놓인다. 아래층의 한 모서리를 고르는4가지에 위층의 평행한 모서리2가지를 곱해8개, 아래층 대각선2가지에 위층의 같은 방향 대각선1가지를 곱해2개다.

교사는4개 꼭짓점을 고른70가지를 모두 사각형이라고 부르지 않는다. 공간에서는 네 점이 한 평면 위인지 확인해야 평면 도형으로 다룰 수 있다. 여섯 면만 세어6이라고 답한 경우에는 대각선 방향의 평면 여섯 개를 찾아 보게 한다.

층별로 나눈 경우는 서로 겹치지 않으며 모든 네 점 선택을 포함한다. 이 분류의 이유를 남기면12개의 그림을 발견한 것과 전체를 빠짐없이 센 풀이를 구별할 수 있다. 실제 종이 모형의 조금 틀어진 꼭짓점은 계산의 정육면체 전제와 따로 다룬다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Harlequin Cube」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.