준선은 y=0으로 고정한다. 초점 F₁=(0,2)인 포물선 C₁과 초점 F₂=(0,4)인 포물선 C₂를 만든다. “꼭짓점이 1만큼 위로 이동했으므로 C₂는 C₁의 평행이동이다”라는 설명을 검토하라.
꼭짓점은 각각 (0,1),(0,2)다. 그러나 C₁을 위로 1만큼 평행이동한 식은 x²=4(y−2)이며 C₂와 다르다. 꼭짓점이 옮겨졌다는 관찰만으로 전체 곡선이 같은 모양으로 옮겨졌다고 할 수 없다.
평행이동이라면 초점과 준선도 같은 만큼 움직인다. C₁을 위로 1만큼 옮기면 초점은 (0,3), 준선은 y=1이 된다. 여기서는 준선을 고정한 채 초점만 움직였으므로 초점과 준선 사이 거리도 2에서 4로 달라진다.
P=(4,4)를 대입하면 C₂에서는 16=8×2로 성립하지만, 옮긴 C₁에서는 16=4×2가 되어 성립하지 않는다. 두 곡선이 다르다는 결론을 꼭짓점 이외의 한 점으로도 확인할 수 있다.
교사는 꼭짓점 좌표를 맞힌 답을 지우지 않는다. 그 계산은 정확하고, 틀린 부분은 좌표 변화만으로 평행이동을 단정한 문장이다. 실제 움직인 대상이 초점 하나인지, 초점과 준선 전체인지 표시하게 한다.
후속 질문은 C₁의 초점과 준선을 모두 위로 1만큼 옮겨 새 곡선을 구하게 한다. 곡선의 계수4가 유지되는 경우와8로 바뀌는 경우를 나란히 놓으면 평행이동과 거리 조건의 변화를 구별할 수 있다.
두 곡선을 꼭짓점이 겹치도록 그려도 같은 x에서 y값이 다르다. 꼭짓점의 일치만으로 모양의 일치를 말할 수 없다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Folding Conic Sections Project」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.