두 작은 공은 별도 수직선에서 같은 높이 모형으로 움직인다. 충돌은 다루지 않고 높이만 비교한다. 첫 공의 출발 시각은0, 둘째는d>0이다. 각 공은 출발 후4초 동안만 모형을 적용한다. 두 공이 모두 공중에 있을 때 높이가 같은 시각은 언제 존재할까?
두 식의 차는 d(4+d−2t)다. d>0이므로 교점 후보는 t=(4+d)/2다. 두 이차식의 t²항이 지워져 교점 식은 일차식이 된다. 그래서 실수 시각 하나를 얻는 계산 자체는 모든 d>0에서 가능하다. 그러나 계산한 시각이 실제로 허용되는지를 별도 검토해야 한다.
d>4이면 둘째 공이 출발하기 전에 첫 공의 모형이 끝나므로 공통 시간 구간이 없다. 그때 두 식을 계속 연장해 얻은 교점은 음의 높이를 갖지만, 연장된 식의 값이지 비행 기록이 아니다. d=4는 첫 공의 착지와 둘째의 출발을 동시에 포함하는 경계다. 따라서 두 공이 공중에서 같은 높이에 있는 경우는 정확히0<d<4다.
Sara VanDerWerf는 불꽃의 이차 그래프를 보여 줄 때 축의 뜻부터 정하고 식을 하나씩 드러낸다. 이 글의 공·지연 시각·식은 자체 모형이며 원문 영상이나 실제 공의 측정값이 아니다. 사진은 바닥의 실제 공을 쓰고 가짜 운동 궤적을 덧그릴 필요가 없다.
교사는 두 식에 같은 t를 넣었는지, 둘째의 경과시간은t−d로 썼는지를 먼저 확인한다. 식의 해, 적용 구간 안의 해, 높이가 양수인 해를 세 줄로 구별하면 d=4를 답에 넣는 이유도 명확해진다.
출처·착안: Short & Sweet: I love IMP & Desmos & Ducks & Fireworks.. 위 조건·문항·해설은 새로 작성했다.