함수값 두 개만 맞추면 직선으로도 충분하다. 양 끝의 미분계수를0으로 하고, 도함수를 다시 미분한 값까지0으로 하라는 조건을 더하면 필요한 차수는 달라진다. 다음은 자체 설계 문항이며 F는 실수계수 다항식이다.
F′′는 F′를 다시 미분한 함수로 정의한다. 먼저 여섯 계수를 놓고 연립하기보다 H=F′의 인수를 보자. H(0)=H′(0)=0이면 H의 상수항과1차항이 없어 t²로 나누어진다.1에서도 같은 논리를 t−1에 대한 전개에 적용하면 (t−1)²로 나누어진다.
따라서 H는 t²(t−1)²의 배수다. F(0)과F(1)이 다르므로 H는0다항식이 아니며 차수가4이상이다. F의 차수는 적어도5다.5차라면 남은 배수는 상수c 하나뿐이다.
F(0)=0으로 적분상수는0이고 F(1)=c/30=1이므로 c=30이다. 최소차수의 해는 F(t)=10t³−15t⁴+6t⁵로 유일하다. 미분해 양 끝의 조건을 다시 대입하면 존재도 확인된다. 모든 차수의 해가 하나라는 결론으로 확대하지 않는다.
Perlin의 공개 구현에는 이5차식이 fade 함수로 등장한다. 이 글은 코드·그래픽을 복제하지 않고 그 식을 선택할 수학적 제약을 새 질문으로 구성했다. 교사는 “계수가 계산됐다”와 “더 낮은 차수가 불가능하다”를 각각 확인한다.
착안: Ken Perlin, Improved Noise. 위 최소차수 문항과 논증은 새로 작성했다.