자체 문항으로 평면의 네 점 P0,P1,P2,P3에서 곡선을 정의하자. 점을 더하거나 수로 나누는 계산은 두 좌표에 각각 적용한다.
전반부를 별도 곡선으로 만들 때 B(1/2)만 맞추면 충분할까? 다음 네 점을 사용하고 같은 가중식에 u를 넣은 곡선을 L(u)라 하자.
P0의 계수는(1−u)³+3(1−u)²u/2+3(1−u)u²/4+u³/8이다. 세제곱 공식으로 이는(1−u/2)³이 된다. 다른 세 점의 계수도 각각3(1−u/2)²(u/2),3(1−u/2)(u/2)²,(u/2)³이다. 따라서 L(u)=B(u/2)가 모든0≤u≤1에서 성립한다.
예를 들어 P0=(0,0),P1=(2,4),P2=(6,4),P3=(8,0)이면 S0=(0,0),S1=(1,2),S2=(5/2,3),S3=(4,3)이다. 끝점 둘의 중점(4,0)은 B(1/2)가 아니다. 위치를 반으로 나눈 것과 입력 구간을 반으로 나눈 것을 혼동하면 다른 모양을 만든다.
Scratchapixel의 곡선 분할 설명에서 반복 중점 관점을 참고했다. 그림·코드를 복제하지 않고 새 좌표와 구간 전체 항등식을 검토했다. 교사는 시작·끝 두 값 대입 뒤, 내부에서도 같은 곡선이라는 근거를 별도로 요구한다. 계수 일치는 임의의 네 점에도 적용되는 근거다.
착안: Scratchapixel, Bézier Curve. 문항·전개·수업 질문은 새로 작성했다.