수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

구의 중심을 지나는 평면을 접평면이라고 써도 될까

구 (x−1)²+(y−2)²+(z−3)²=4의 중심은 (1,2,3), 반지름은 2입니다. z=3과 만나면 반지름 2인 원, z=5에서는 (1,2,5) 한 점입니다. 접평면은 중심을 지나는 평면이 아니라 중심까지 거리가 반지름인 평면입니다.

(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=4,α:z=3,β:z=5 \begin{aligned} &(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=4,\\ &\alpha:z=3,\qquad\beta:z=5 \end{aligned}

두 평면과 구가 만나는 모양을 구하자. 중심을 지나는 α를 접평면으로 고른 답안은 맞을까?

평면 대입한 식 만나는 모양
z=3 (x−1)²+(y−2)²=4 반지름 2인 원
z=5 (x−1)²+(y−2)²=0 (1,2,5) 한 점

접평면은 β다. 중심 (1,2,3)에서 평면까지 거리는 α에서 0, β에서 2다. 구의 반지름 2와 같은 경우에 한 점만 만난다.

z=6으로 바꾸면 두 제곱의 합이 −5여서 교점이 없다. 중심이 평면 위라는 판정과 구가 한 점에서 만난다는 판정을 구별한다. 도식에서도 z=3에서 만나는 원과 z=5의 접점을 따로 표시하자.

출처·착안: Sarah Carter, 「Classifying Conic Sections Flow Chart」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.