수선의 발이 밑면 밖이면 사면체 부피 공식도 달라질까

\begin{aligned} &A(0,0,0),\quad B(3,0,0),\\ &C(0,4,0),\quad P_1(1,1,6),\\ &P_2(7,9,6) \end{aligned}

두 사면체 ABCP₁, ABCP₂의 부피를 비교하자. P₂의 수선의 발이 밑면 삼각형 밖에 있으면 공식을 바꾸어야 할까?

밑면 ABC의 넓이는 6이고 두 점에서 밑면을 포함하는 평면 z=0까지의 거리는 모두 6이다.

V_1=V_2=\frac13\cdot6\cdot6=12.

P₂의 발 (7,9,0)은 밖이지만 높이는 그대로다. P₁A=√38, P₂A=√166인 모서리 길이를 높이에 대신 넣으면 틀린다.

높이의 대상은 삼각형의 내부가 아니라 밑면을 포함하는 평면이다. 그림에서 평면을 연장하고 수선의 발을 표시하게 하자. x,y좌표만 바꾸고 z=6을 유지하면 모서리 길이가 달라져도 현재 부피는 같다.