두 상자의 치수를 다음처럼 정한다. A는 높이 x, 정사각형 밑면 한 변 24−x이고 0<x<24이다. B는 높이 x, 밑면 한 변 24−2x이고 0<x<12이다. 두 모형의 부피를 각각 최대로 만드는 x가 같은지 판단하라. 모든 길이의 단위는 cm이다.
밑면의 길이 관계가 다르므로 부피 함수도 다르다. 같은 기호 x를 사용했다는 이유로 하나의 공식을 공통 적용할 수 없다.
A는 x=8에서 증가에서 감소로 바뀌며 최대 부피는 8×16²=2048cm³이다. x=24는 정의역 밖 경계이고 상자가 퇴화한다.
B는 x=4에서 최대 부피 4×16²=1024cm³를 갖는다. 두 최대 높이는 다르다.
Descartes 원문은 두 조각을 이용하는 상자에서 x(36−x)²라는 모델을 제시한다. 이 글은 원본 전개도를 복제하지 않고 치수를 명시한 두 새 모형을 비교한다. 같은 재료량의 실제 제작 실험이라고 주장하지 않는다. 학생에게 미분 전에 각 인수가 어떤 길이인지 설명하게 하면 모델을 잘못 세운 풀이를 먼저 찾을 수 있다.
출처·착안: Derivadas Aplicaciones Optimización 상자 최적화. 문항과 풀이, 도식은 새로 작성했다.