두 좌표평면에 연달아 대칭시키면 원점 대칭일까

P=(2,3,4)

P를 xy평면에 대하여 대칭시킨 뒤, 얻은 점을 xz평면에 대하여 다시 대칭시킨다. 최종 점은 P의 원점 대칭점인가?

(2,3,4)\longrightarrow(2,3,-4)\longrightarrow(2,-3,-4).

원점 대칭점은 (−2,−3,−4)이므로 다르다. 두 단계 모두 x좌표를 바꾸지 않는다. 최종 점은 x축에 대하여 대칭인 점이다.

일반적인 점 (x,y,z)에도 같은 확인을 할 수 있다. xy평면 대칭은 z의 부호만, xz평면 대칭은 y의 부호만 바꾼다. 두 번 대칭했다는 횟수만으로 원점 대칭이라고 정하지 않는다. 어떤 좌표가 변했는지 추적해야 한다.

교사는 원래 점과 최종 점을 연결한 선분의 중점도 확인하게 한다. 중점은 (2,0,0)으로 x축 위에 있다. 그 연결 선분은 x축에 수직이다. 좌표의 부호 변화와 대칭의 기하 조건이 같은 결과를 설명한다.

x=0인 점만 고르면 최종 점이 우연히 원점 대칭점과 같아진다. 한 예가 맞았다고 모든 점에서 같은 대칭이라고 할 수 없다. x가0이 아닌 예를 함께 보여 주는 이유다.

이 두 좌표평면의 순서를 바꾸어도 결과는 같다. 부호를 바꾸는 좌표가 서로 다르기 때문이다. 다만 이것을 모든 평면 대칭의 순서가 같다는 주장으로 넓히지는 않는다. 계산한 두 평면과 점의 조건을 그대로 남긴다.

대칭축 위의 점은 움직이지 않는다. y=z=0을 일반 결과에 넣어 원래 점이 그대로 남는지도 검산한다.