점 P=(x,y)에서 F까지 거리와 직선 ℓ까지 거리가 같다고 하자. “초점과 준선을 정했으므로 포물선이다”라는 주장이 맞는지 자취를 직접 구하라.
두 변이 모두 음수가 아니므로 제곱은 동치다. 자취는 x=0인 직선 전체다. 여기서는 초점으로 지정한 점이 준선 위에 있으므로 보통의 포물선이 되는 조건을 만족하지 않는다.
F가 준선 밖에 있을 때에는 포물선의 초점과 준선 사이에 양의 거리가 있다. 교재의 y²=4px 또는 x²=4py에서 p≠0이라는 조건도 이 차이를 남긴다. p=0을 그대로 허용하면 제곱항이 0이 되어 직선이 되므로 도형의 종류가 달라진다.
이 문제는 정의의 이름만 적용하지 않고 실제 거리 조건으로 자취를 구하게 한다. P=(0,3)과 (0,−3)은 모두 두 거리가 3으로 같고, P=(1,0)은 1과 0으로 다르다. 간단한 세 점 확인으로 직선 전체라는 답의 방향과 범위를 검산할 수 있다.
교사는 제작 안내에 점을 직선 위쪽에 두라고 썼는지 확인한다. “직선 근처에 점 하나”로 안내를 줄이면 학생이 직선 위에 점을 놓을 수 있고 결과도 달라진다. 위치 조건 한 문장이 포물선의 전제를 유지한다.
후속으로 F=(0,2)만 바꾸면 x²=4y−4가 된다. 두 예의 차이는 계산 형식보다 초점이 준선 위에 있는지 밖에 있는지라는 조건에 있다. 경계 예를 본 뒤 원래 제작 조건을 정확히 쓰도록 한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Folding Conic Sections Project」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.