쌍곡선에서 두 초점 방향의 합은 접선에 수직일까
쌍곡선의 실제 접점에서 두 초점으로 향하는 단위벡터를 더하고 빼서 접선·법선 방향을 구별한다.
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도형과 시각화
도형의 위치·크기·방향·분할·연속 변화나 실제 시각적 표현을 통해 관계를 이해하는 글.
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세 점을 지나는 원의 중심은 그 삼각형 안에 있을까
A=(0,0),B=(4,0),C=(1,1)을 지나는 원의 중심은(2,−1), 반지름은√5입니다. 삼각형은 y≥0에 있어 중심은 밖입니다. 원이 유일하게 존재한다는 조건과 중심이 삼각형 안이라는 주장은 다릅니다.
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수선의 발이 선분 밖이면 가장 가까운 점도 밖에 있을까
Q=(3,4,0)에서 선분 (0,0,0)~(2,0,0)까지의 거리는√17입니다. 직선에 내린 수선의 발은 선분 밖에 있습니다. 최소가 되는 값이 허용 범위에 있는지 먼저 확인합니다.
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정육면체를 자른 평면의 세 축 교점은 단면의 꼭짓점일까
0≤x,y,z≤1인 정육면체를 x+y+z=3/2로 자릅니다. 축 교점은 입체 밖입니다. 단면 꼭짓점은(1,1/2,0)의 좌표를 바꾼 여섯 점이고 변 길이1/√2인 정육각형입니다. 평면식과 입체의 좌표 범위를 함께 씁니다.
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두 점까지의 거리 비가 주어지면 자취는 언제나 구일까
A=(−1,0,0), B=(1,0,0)에서 PA=kPB, k>0의 공간 자취를 분류합니다. k=1은 평면 x=0, k≠1은 중심 ((1+k²)/(k²−1),0,0), 반지름 2k/|k²−1|인 구입니다.
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두 구의 반지름 비가 같으면 두 입체도 같은 크기일까
반지름 1인 구 위에 정육면체의 꼭짓점 (±1/√3,±1/√3,±1/√3)을 놓습니다. 다른 입체는 (±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)을 이은 여덟 삼각형 면 입체입니다. 안쪽 구의 반지름은 모두 1/√3이지만 부피는 각각 8/(3√3), 4/3입니다.
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점근선은 만나는데 쌍곡선 두 가지 사이 거리도 0일까
쌍곡선 x²/9−y²/16=1의 오른쪽 점은x≥3, 왼쪽 점은x≤−3입니다. 두 가지 사이 최단거리는 꼭짓점(3,0),(−3,0)에서6입니다. 점근선의 교점(0,0)은 곡선 위가 아닙니다.
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작은 직사각형을 안에 넣으면 합친 넓이는 늘어날까
R:0≤x≤4,0≤y≤3과 T:1≤x≤3,1≤y≤2입니다. T⊂R이므로 R∪T의 넓이 12·바깥 둘레 14는 그대로입니다. T를 잘라 구멍을 내면 넓이 10·안쪽 포함 경계 20으로 질문이 달라집니다.
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포물선 위 두 점의 중점도 포물선 위에 있을까
포물선 y²=4x 위 P=(t²,2t), Q=(u²,2u), t≠u입니다. 중점 M은 x_M−y_M²/4=(t−u)²/4>0이므로 곡선 위가 아닙니다. 좌표 평균을 먼저 제곱하는 것과 제곱한 값을 평균내는 것을 구별합니다.
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평면 대칭의 순서를 바꾸어도 같은 점이 될까
z=0과 x=z에 대한 대칭은 순서에 따라 다릅니다. P=(1,0,0)은 두 순서에서 (0,0,1), (0,0,−1)이 됩니다. 중간 점을 먼저 기록해 비교합니다.
