두 점까지의 거리 비가 주어지면 자취는 언제나 구일까

A=(-1,0,0),\quad B=(1,0,0),\quad PA=k\,PB\quad(k>0).

공간에서 점 P의 자취를 모든 k에 대해 분류하라. 구의 방정식을 얻으려고 곧바로 $1-k^2$ 로 나누어도 될까?

$P=(x,y,z)$ 로 놓고 양쪽 거리를 제곱하면

(1-k^2)(x^2+y^2+z^2+1)+2(1+k^2)x=0.

$k=1$ 일 때 제곱항이 사라져 $4x=0$ 이다. 자취는 평면 $x=0$ 이며 중점 하나만 남는 것이 아니다. 예를 들어 $P=(0,2,3)$ 도 A와 B까지의 거리가 모두 $\sqrt{14}$ 다.

$k\ne1$ 일 때만 나누어 완전제곱식을 만들 수 있다. 중심과 반지름은

C=\left(\frac{1+k^2}{k^2-1},0,0\right), \qquad r=\frac{2k}{|k^2-1|}.

이때 $r>0$ 이므로 실제 자취는 구다. $k=3$ 이면 중심은 $(5/4,0,0)$ , 반지름은 $3/4$ 다. 구 위의 $P=(2,0,0)$ 에서 $PA=3,PB=1$ 로 원래 거리 비도 맞는다.

채점에서는 $1-k^2$ 로 나누기 전에 $k=1$ 을 분리했는지 본다. 두 거리가 음수가 아니고 $k>0$ 이어서 제곱 전후의 조건은 같다. 평면과 구의 갈림길은 계산 중 나누는 값이 0이 되는 곳에 있다.