오른쪽 가지 위 점P와 왼쪽 가지 위 점Q를 고른다. PQ의 최솟값을 구하라. 두 점근선이 원점에서 만나므로 거리0이라고 쓴 답을 검토한다.
쌍곡선의 식에서 x²/9=1+y²/16≥1이다. 따라서 오른쪽 가지는 x≥3, 왼쪽 가지는 x≤−3이다.
P=(3,0), Q=(−3,0)을 택하면 두 점 모두 쌍곡선 위이고 PQ=6이다. 최솟값은6이다.
점근선의 교점과 곡선의 점
두 점근선은 y=±4x/3로 원점에서 만난다. 하지만 원점은 쌍곡선의 식을 만족하지 않는다. 점근선끼리의 교점에서 곡선의 점P,Q를 택할 수 없다.
평면 그림에서 가지가 중심 쪽으로 좁아져 보이더라도 x좌표 사이에는6 이상의 차가 남는다. 한 가지에서 점근선까지 가까워지는 현상과 서로 다른 두 가지가 가까워지는 현상은 다른 비교다.
거리6을 얻으려면 두 부등식에 모두 등호가 필요하다. x_P=3,x_Q=−3이어야 하며 y좌표 차도0이다. 이 x값에서 곡선의 식은 y=0을 강제하므로 두 꼭짓점만 가능하다.
해설에서 최소 후보 두 점을 그림으로 고른 뒤에 멈추지 않는다. 다른 모든 P,Q에서 거리가6 이상이라는 좌표 범위의 줄을 먼저 적는다. 점근선 식과 쌍곡선의 실제 점 조건을 함께 남기면 대체 도형에서 얻은 최소값을 가져온 오류를 구별할 수 있다.
일반형 x²/a²−y²/b²=1에서 a,b>0이면 같은 풀이로 두 가지 사이 최소 거리는2a다. b는 위아래로 벌어지는 모양을 바꾸지만 x좌표 경계 ±a는 바꾸지 않는다. 어떤 상수가 실제 최소값에 쓰였는지 돌아볼 수 있다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Classifying Conic Sections Flow Chart」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.