쌍곡선에서 두 초점 방향의 합은 접선에 수직일까

\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1,\quad P=\left(5,\frac{16}{3}\right),\quad F=(5,0),\ F'=(-5,0).

P에서 두 초점으로 향하는 단위벡터를 u,v라 하자. “u+v는 접선에 수직이다”를 판정하고, u−v의 방향도 확인하라.

PF=16/3, PF′=34/3이므로

u=(0,-1),\qquad v=\left(-\frac{15}{17},-\frac8{17}\right).

P에서의 접선은 5x−3y=9다. 접선과 평행한 벡터는 (3,5), 법선벡터는 (5,−3)이다.

u+v=-\frac5{17}(3,5),\qquad u-v=\frac3{17}(5,-3).

따라서 합은 접선과 평행하고 차가 접선에 수직이다. 타원에서 기억한 “두 초점 방향의 합”을 곡선의 종류와 방향 확인 없이 쓰면 결론이 바뀐다.

답안에서는 화살표의 시점을 먼저 확인한다. 둘 다 P에서 출발했는지, 각각 자기 길이로 나누었는지, 마지막 벡터를 접선 방향과 법선 방향 중 무엇과 비교했는지 세 줄로 확인한다. 내적 (3,5)·(5,−3)=0도 마지막 검산이 된다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Conic Sections Foldable」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.