세 점을 지나는 원의 중심은 그 삼각형 안에 있을까

A=(0,0), B=(4,0), C=(1,1)을 지나는 원의 중심 O=(h,k)를 구하라. 세 점이 한 직선 위에 있지 않으므로 중심이 삼각형 내부에 있다는 설명도 확인하라.

OA^2=OB^2\Longrightarrow h=2.

OA²=OC²에서 h+k=1이므로 k=−1이다. 중심은 O=(2,−1), 반지름은√5이고 원의 식은

(x-2)^2+(y+1)^2=5

다. 세 점을 대입하면 각각5가 된다.

세 점의 y좌표는0,0,1이다. 삼각형의 모든 점은 y≥0에 있으므로 y=−1인 중심은 삼각형 밖이다. 세 점을 지나는 원이 하나로 정해진다는 말은 그 중심이 삼각형 안에 있다는 말이 아니다.

그림 없이 식으로 중심을 구한 풀이를 틀렸다고 고치지 않는다. 삼각형 내부에 중심을 먼저 표시한 뒤 대칭처럼 보이는 선을 찾는 방법은 이 예에서 잘못된 시작점이다. 같은 거리 조건으로 얻은 좌표를 세 꼭짓점에 다시 대입하여 확인한다.

C를(2,2)로 바꾸면 중심은(2,0)이고 반지름은2다. 이때 중심은 AB 위에 있다. 같은 ‘한 직선 위에 있지 않은 세 점’ 조건에서도 원의 중심은 경계에 놓일 수 있다. 내부·경계·외부를 삼각형 존재 여부와 따로 검토한다.

수업 질문은 원의 중심을 구하기 전에 어디에 있을지 예상하게 한 뒤, 계산된 좌표가 예상과 다른 이유를 설명하게 한다. 단순한 계산 실수 확인뿐 아니라 그림에 미리 넣은 조건이 문제에 실제로 주어졌는지도 확인하는 채점 지점이다.