공간의 A=(0,0,0), B=(2,0,0), C=(0,2,2), D=(0,0,2)를 차례로 잇는다. AB,BC,CD,DA의 중점 M,N,P,Q가 한 평면 위에 있는지 판단하라.
원래의 네 점은 한 평면 위에 있지 않다. A,B,D가 있는 평면 y=0에 C는 속하지 않는다. 그러나 네 중점은 모두 x−y+z=1 위에 있다.
벡터로 이유를 보면 예시 좌표에만 의존하지 않는다.
따라서 두 벡터가 서로 평행하지 않으면 네 중점은 한 평면의 평행사변형을 만든다. 두 벡터가 평행하면 중점들이 한 직선 위에 있어도 한 평면에 놓인다는 결론은 여전히 맞다.
현재 예에서는 MN=(0,1,1), NP=(−1,0,1)이다. 두 길이는√2로 같지만 내적은1이어서 직각이 아니다. 따라서 중점 도형은 마름모이고 정사각형은 아니다. 네 중점을 그렸다는 사실만으로 정사각형을 예상하지 않는다.
교사는 원래 네 꼭짓점의 평면 조건을 중점 도형에 그대로 적용한 오답을 살펴볼 수 있다. 중점이라는 새 조건이 반대쪽 두 변의 벡터를 같게 만든다. 일반 네 점에는 없는 관계가 생긴 것이다.
입체 그림이 낯설 때도 중점 좌표와 반대 변의 벡터만으로 평면성을 확인할 수 있다. 그림을 한 장의 평면으로 그려 버리는 대신, 그릴 수 있다는 근거를 먼저 식으로 제시한다.
네 중점의 합 관계는 시작점을 어느 꼭짓점으로 옮겨도 유지된다. 다만 AB,BC,CD,DA라는 연결 순서는 고정해야 지금의 반대 변 관계를 그대로 사용할 수 있다.
출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.