“중심 O와 P를 잇고 그 선에 수직인 직선을 P에서 그으면 타원의 접선이다.” 이 설명을 확인하라.
P는 타원 위에 있다. 그 점에서의 접선은
접선의 방향벡터 (3,−2)와 OP의 내적은5√2/2로0이 아니다. 따라서 접선이 OP에 수직이라는 주장은 틀린다.
원의 접선에서 사용한 반지름의 수직 조건을 타원에 그대로 옮겼다. 타원의 두 분모9,4는 같지 않으며 접선의 x,y계수에도 각각 반영된다. OP의 방향 (3,2)와 접선의 법선벡터 (2,3)가 평행하지 않다는 확인으로도 같은 판단을 얻는다.
교사는 접선식이 P를 지난다는 것만 확인하고 채점하지 않는다. P를 지나는 직선은 무수히 많다. 타원의 점에서 구한 접선 공식을 적용하고 주어진 P가 타원 위에 있는지 먼저 대입해야 한다.
P에서 OP에 수직인 후보 직선의 방향은 (2,−3)이다. 실제 접선 방향 (3,−2)와 다르다. 그림에서 비슷하게 보이는 기울기 대신 두 방향을 좌표로 비교한다.
타원의 꼭짓점 (3,0)에서는 접선 x=3이 중심에서 그은 선과 수직이다. 이 특수 예만으로 일반 주장을 만들지 않는다. 축 위인 점과 두 좌표가 모두0이 아닌 점을 함께 제시하면 생략한 조건이 드러난다.
각 선이 무엇에 수직인지 이름을 함께 적는다. 접선의 법선벡터와 중심에서 점으로 향하는 벡터를 같은 대상으로 쓰지 않는다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Folding Conic Sections Project」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.