원을 계속 바꾸면 원 위 점들의 합집합도 원일까

a^2+b^2=1,\qquad C_{a,b}:(x-a)^2+(y-b)^2=1.

중심이 단위원 위에 있는 반지름1인 모든 원을 생각한다. 이 원들 중 적어도 하나의 원 위에 놓이는 점P의 전체 범위를 구하라.

P=(x,y)의 원점까지 거리를 r라고 하면 원 위 조건은

x^2+y^2=2(ax+by),\qquad a^2+b^2=1.

중심 벡터 길이가1이므로 ax+by≤r다. 따라서 r²≤2r이고0≤r≤2가 필요하다.

P≠O에서 e=P/r, 이에 수직인 단위벡터f를 택한다.0<r≤2이면 중심을

(a,b)=\frac r2e+\sqrt{1-\frac{r^2}{4}}f

로 두면 크기가1이고 P와의 내적은 r²/2다. 그러므로 P를 지나는 원이 실제 존재한다. P=O는 모든 원 위에 있다.

결론은 x²+y²≤4인 원의 내부와 경계 전체다. 각 원의 경계만 모았어도 그 합집합이 바깥 경계 하나만 남는 것은 아니다. r=1인 점도 맞는 중심을 택하면 어느 원의 경계에 놓인다.

r=2에서는 중심이 P/2로 하나다.0<r<2에서는 위 f의 두 부호로 중심 두 개를 만들 수 있다.0에서는 중심을 어디로 택해도 된다. 범위 끝과 가운데의 원 개수도 같은 것은 아니다.

해설에는 필요 부등식만 적고 끝내지 않는다. 그 범위의 임의의 점에서 중심을 구성한 줄이 있어야 전체 합집합이라고 결론 낼 수 있다. 한 원의 내부점과 여러 원 중 어느 원의 경계점이라는 두 역할을 구별한다.

예를 들어 P=(1,0)은 중심(1/2,√3/2)인 원 위에 놓인다. 이 한 예에서도 합집합이 반지름2의 바깥 경계뿐이라는 답이 깨진다. 범위 안 점을 실제 원으로 연결하는 검산을 먼저 해 본다.