외분비 1:1을 공식에 넣었을 때 분모 0은 무슨 뜻일까

선분 AB를 2:1,1:2,1:1로 각각 외분하는 점이 있는지 구하라. 마지막 경우의 분모 0을 점의 좌표라고 쓸 수 있는가?

외분점은 선분 바깥의 직선 위에 있다. x>4이면 AP=x, BP=x−4이므로 두 길이가 같을 수 없다. x<0이면 AP=−x, BP=4−x이므로 역시 같지 않다. 두 점에서 같은 거리에 있는 직선 위 점 (2,0)은 내분점이며 외분점이 아니다.

외분점 공식의 분모 m−n이 0이 되는 것은 좌표가 아주 커진다는 계산 답이 아니다. 이 조건의 외분점이 존재하지 않는다는 사실을 거리로 확인해야 한다. 실수좌표로 1/0을 쓰거나 무한대라는 수를 점의 좌표로 적을 수 없다.

학생이 마지막 경우를 공식에 넣다가 멈추었다면, 두 길이를 직접 쓰게 한다. 분수식이 정의되지 않는 이유를 선분 바깥에서 두 거리가 같지 않다는 기하 조건과 연결할 수 있다. 2:1과 1:2가 서로 다른 쪽에 놓이는 방향도 동시에 확인한다.

후속 질문은 “직선 위에서 A,B와 같은 거리에 있는 점”으로 바꾼다. 이때 중점이 답이므로 1:1이라는 숫자만 보고 존재 여부를 결정하면 안 된다. 내분과 외분이라는 조건을 읽고 판단해야 한다.

문항 준비에서는 두 점이 서로 다르다는 전제를 유지한다. A=B라면 거리 조건 자체가 바뀌며 위의 외분 판단을 그대로 가져올 수 없다.

외분비의 두 수를 서로 바꾸면 점이 놓이는 쪽도 바뀐다. 좌표와 두 길이를 함께 확인한다.

출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.