타원 x²/9+y²/4=1에 기울기1인 두 접선을 긋는다. 두 접점 사이 거리를 재면 두 평행선 사이 거리가 된다는 주장을 검토하라.
두 직선 사이 거리는2√13/√2=√26이다. 접점은 P=(−9/√13,4/√13), Q=(9/√13,−4/√13)이다.
따라서 접점을 잇는 선분의 길이는 두 직선 사이 거리보다 크다.
두 평행선 사이 거리는 한 직선의 점에서 다른 직선으로 내린 수선의 길이다. PQ가 두 접선에 수직인지 확인하면 오류를 더 빨리 찾을 수 있다. 접선 방향(1,1)과 Q−P=(18,−8)/√13의 내적은10/√13으로0이 아니다.
P,Q가 타원의 중심에 대하여 대칭인 것은 맞다. 중심을 지나는 선분이라는 사실을 접선에 수직이라는 사실로 바꿀 수 없다. 타원이 원일 때 익숙한 반지름과 접선의 관계를 그대로 가져온 데서 생기는 오답이다.
교사는 ‘평행선 사이 거리’의 두 끝점을 묻는다. P의 수선의 발은 둘째 직선 위에 있지만 일반적으로 접점 Q는 아니다. P와 Q의 좌표를 구한 계산 자체가 정확해도 그 거리를 문제의 거리로 선택하는 단계에서 틀릴 수 있다.
문항을 만드는 경우 두 접선을 x=±3으로 바꾸면 접점 연결이 수직이어서 두 거리가 같아진다. 축 방향의 쉬운 예만 보여 주면 잘못된 일반 규칙이 숨는다. 현재의 기울기1 조건이 그 차이를 드러낸다.
두 직선 중 어느 쪽에서 수선을 내려도 같은 거리가 나온다. 접점 두 개를 택하는 방식에는 이 수직 조건이 자동으로 붙지 않는다. 거리의 정의를 식의 끝에 다시 확인한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Conic Sections Foldable」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.