정수로만 놓으면 오목한 높이의 최소가 한 칸 올라간다

a₀=a₄=0이고 다섯 높이가 다음 조건을 만족한다. 먼저 실수 높이를 허용하고, 그 다음 모든 높이를 정수로 제한할 때 a₂의 최솟값을 각각 구하라.

2a_i-a_{i-1}-a_{i+1}\ge1\qquad(i=1,2,3).

양옆 조건에서 a₁,a₃≥(a₂+1)/2다. 가운데 조건은 a₁+a₃≤2a₂−1이다. 둘을 합치면 a₂+1≤2a₂−1, 즉 a₂≥2를 얻는다.

실수 높이에서는 a₂=2,a₁=a₃=3/2를 넣어 세 부등식을 모두 만족한다. 따라서 아래쪽 한계 2는 실제로 얻어지는 최솟값이다.

정수 높이로는 같은 등호 예를 쓸 수 없다. a₂=2이면 a₁,a₃≥2라 가운데 조건을 위반한다. 다음 정수 3에서는 가능한 예가 있다.

\begin{gathered} (a_0,a_1,a_2,a_3,a_4)=(0,2,3,2,0),\\ (2a_i-a_{i-1}-a_{i+1})_{i=1}^3=(1,2,1). \end{gathered}

원문의 정수 항이 이웃 평균보다 크다는 조건은 차이가 정수여서 적어도 1이라는 양적 여유를 갖는다. 현재 실수 비교에서도 그 여유 1을 명시적으로 유지했다. 단순히 “엄격히 크다”만 실수에 옮기면 다른 문제다. 교사는 범위만 바꾼 것인지 부등식까지 약하게 바꾼 것인지 확인하게 한다.

착안 원문: Australian Mathematical Olympiad 2019, Problem 7. 위 조건·문항과 해설은 새로 구성했다. 원문의 문항이나 그림을 번역·재사용한 것이 아니다.