두 구의 공통점을 구하라. 학생은 두 식을 빼서 x=2를 얻고 “공통점은 평면 x=2 전체”라고 답했다.
공통점은 다음 두 조건을 동시에 만족해야 한다.
따라서 중심 (2,0,0), 반지름 √5인 원이다. 식을 빼는 계산은 맞지만 원래의 식 하나가 빠졌다. (2,0,0)은 평면 위에 있으나 두 중심까지 거리가2라서 반지름3인 어느 구에도 없다.
반대로 x=2와 첫 구의 방정식이 성립하면 둘째 구의 방정식도 성립한다. 두 제곱항 x²와 (x−4)²가 모두4이기 때문이다. 이 확인은 답의 두 조건이 공통점을 빠짐없이 나타낸다는 근거가 된다.
교사는 연립식을 정리할 때 무엇을 바꾸었는지 적게 한다. 두 식 중 하나를 두 식의 차로 바꾸는 것은 가능하지만, 차 하나만 남기면 조건이 약해진다. “두 식의 차와 원래의 식 하나”를 함께 남기는 줄이 채점의 핵심이다.
그림에서는 두 구의 공통 원과 그 원을 포함하는 평면을 구별한다. 평면 안쪽의 모든 점을 칠하면 실제 구의 교집합보다 훨씬 큰 집합을 그린다. 식의 해와 그림의 점을 같은 조건으로 확인한다.
후속으로 (2,√5,0)을 대입하면 두 식 모두9가 나온다. 반례 점과 정답 점을 하나씩 적으면 조건이 충분한지까지 짧게 점검할 수 있다.
원의 방정식에 더해 x좌표가2라는 조건도 남긴다. y²+z²=5만 쓰면 원이 놓인 평면의 위치를 잃고 다른 공간 점까지 포함한다.
출처·착안: MK's papa, 「高校数学をプログラミングで解く（数学C編）「2-5 座標空間における図形」」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.