평면 z=0 위의 원 C₁과 평면 y=0 위의 원 C₂가 주어졌다. 둘이 하나의 구를 각 평면으로 잘라 얻은 원인지 판단하라.
구의 중심을(h,k,l), 반지름을 R이라 한다. 첫 원의 중심은 구의 중심에서 z=0으로 내린 수선의 발이므로 h=1,k=2다. 둘째 원에서 h=1,l=3이다. 후보 중심은(1,2,3)으로 정해진다.
첫 원의 반지름에서 R²−3²=9이므로 R²=18이다. 둘째 원의 반지름에서는 R²−2²=4이므로 R²=8이다. 같은 구의 반지름이 두 값을 가질 수 없어 불가능하다.
두 원 자체는 각 평면 위에서 정확히 정의돼 있다. 문제는 각각의 원이 가능한지 여부가 아니라 두 원이 같은 구에 대응하는지 여부다. 평면이 다르니 반지름이 달라도 된다는 설명만으로 호환성을 보장할 수 없다.
둘째 원의 우변을14로 바꾸면 실제로 가능하다. 구의 방정식은
z=0을 대입하면 첫 원이고 y=0을 대입하면 수정한 둘째 원이다. 수정 뒤에는 두 평면에 대입하는 검산으로 충분함을 확인한다.
교사는 원의 중심을 구의 중심으로 바로 쓰는 오답도 본다. 두 원의 중심(1,2,0),(1,0,3)은 서로 다르며 모두 구의 중심의 수선의 발이다. 반지름 식을 비교하기 전에 각 중심이 정하는 좌표를 먼저 모아야 한다.
수정한 두 원은 x축에서도 같은 두 점을 가진다. 첫 원에서 y=0, 둘째 원에서 z=0을 넣으면 모두(x−1)²=5가 되어 두 자료의 만남도 일치한다.
출처·착안: とろたま, 「【高校数学】体系化６：ベクトル，複素数平面など」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.