원에는 접선이 하나인데, 구의 한 점에는 여러 접선이 있다

S:x^2+y^2+z^2=4,\qquad P=(0,0,2)

구 위의 P에서 접평면은 z=2다. “접평면이 하나이므로 P에서 접하는 직선도 하나다”라는 설명을 검토하라.

다음 두 직선은 서로 다르지만 모두 P에서만 구와 만난다.

\ell_1:(t,0,2),\qquad \ell_2:(0,t,2)\quad(t\in\mathbb R).

첫 직선을 구의 방정식에 대입하면 t²+4=4이므로 t=0뿐이다. 둘째도 같다. 두 직선은 같은 접평면 z=2 안에서 서로 다른 방향으로 지나간다.

더 일반적으로 P+t(a,b,0)에서 (a,b)≠(0,0)이면 대입한 식은 (a²+b²)t²=0이다. 따라서 P에서 접하는 직선은 무수히 많다. 방향벡터가 영벡터이면 직선이 아니므로 이 조건은 지우지 않는다.

접평면은 반지름 OP에 수직이고 P를 지나는 평면으로 하나가 정해진다. 접선은 그 평면 안에서 P를 지나는 어느 직선으로도 만들 수 있다. 평면이 하나로 정해지는 것과 그 안의 직선이 하나로 정해지는 것은 서로 다른 주장이다.

교사는 평면의 원에서 익힌 접선 하나를 공간의 구에 그대로 적용했는지 살핀다. 단면을 하나 고정하면 그 단면의 원에 대한 접선 하나를 구할 수 있지만, 단면 평면을 정하지 않은 구 전체에서는 방향 선택이 남는다.

답안에는 직선 두 개의 식과 구의 방정식 대입을 함께 요구한다. 그림에서 두 선이 비슷해 보여도 식으로 다른 방향과 같은 접점을 확인할 수 있다.

일반적인 직선의 식에서 계수 두 개를 모두0으로 놓은 경우는 점 하나만 나타낸다. 선의 방향을 정하는 조건을 함께 적는다.