빛의 높이 x와 축에 대한 작은 기울기 u를 상태로 쓴다. 다음은 같은 매질 안의 근축 근사에서 착안한 자체 계산 규칙이다. 실제 유한 각도의 광학을 정확히 재현하는 규칙이 아니다. 길이는 같은 단위를 쓴다.
L_f는 양의 초점거리 f인 얇은 렌즈, P_d는 거리 d만큼의 전진이다. 먼저 f₁=f₂=1이고 두 렌즈가 붙은 d=0인 경우와 d=2인 경우를 비교하라. 같은 높이의 평행 입력 (x,0), x≠0을 넣는다. 두 볼록렌즈가 있으니 두 경우 모두 두 번째 렌즈 뒤의 한 유한 지점에 모이는가? 일반 f₁,f₂>0에서 평행한 입력 전체가 다시 축과 평행하게 나오는 d 조건도 구하라.
붙은 경우에는 첫 렌즈 뒤 (x,−x), 둘째 뒤 (x,−2x)다. 여기서 거리 1/2를 전진하면 높이가 0이어서 모든 작은 입력 높이의 광선이 축 위에 모인다.
간격 2이면 첫 렌즈 뒤 (x,−x), 전진 뒤 (−x,−x), 둘째 렌즈 뒤 (−x,0)이다. 높이는 서로 다르지만 모두 기울기가 0이다. 이후 같은 거리만큼 전진해도 높이는 −x 그대로여서 한 유한 지점에 모이지 않는다.
일반 입력 (x,0)을 같은 순서로 적용하면 출력 기울기는 다음과 같다.
그 간격에서 출력 높이는 −(f₂/f₁)x이고 0이 아닌 입력 높이들의 차이가 남는다. “렌즈가 두 개”라는 수보다 렌즈 사이 전진 단계가 상태에 무엇을 했는지가 중요하다. 축 위의 광선 x=0 하나만 확인하면 모든 간격에서 0이 나와 간격 조건을 찾지 못한다.
MIT 강의의 afocal 조건에서 착안했다. 여기의 단위 초점거리와 중간 상태표는 자체 값이다. 빛이 절대로 모이지 않는 모든 실제 장치를 분류한 결론도 아니고, 다른 매질의 굴절이나 두꺼운 렌즈를 포함한 결과도 아니다.
교사는 두 렌즈 사이 상태를 생략하지 않고 세 단계로 쓰게 한다. 첫 렌즈의 기울기 변화를 두 번째 렌즈에 곧바로 더해도 되는 경우는 사이의 전진 거리가 0일 때다. 입력군 전체를 말할 때에는 축 위의 한 광선으로 대신 검산하지 않는다.
착안 원문: Nick Fang, MIT 2.71/2.710 Optics: Lecture 4 (18 February 2014). 단위 초점거리와 렌즈 간격, 세 단계의 상태 계산은 자체 교육용 예이며 실제 렌즈의 측정값이나 유한 각도에서의 성능을 보고한 것이 아니다.