네 모서리의 단자를 전선으로 연결할 때, 가장 짧은 연결이 언제나 가장 쌀까? 전선을 짧게 만들려면 중간에 접속점을 추가할 수 있다. 그런데 그 접속점에도 비용이 든다면 길이만 비교해서는 결정할 수 없다.
가로 w, 세로 h인 직사각형을 생각하자. w≥h>0이다. 전선 길이 한 단위의 가격은 1이고, 추가 접속점 하나의 비용은 κ≥0이다. 원래 네 꼭짓점에는 추가 비용을 부과하지 않는다. 오늘은 다음 세 방식만 허용한다.
0번은 네 변 중 세 변을 통째로 잇는다. 1번은 직사각형의 중심 하나를 네 꼭짓점에 잇는다. 2번은 왼쪽 두 꼭짓점을 S=(x,h/2)에, 오른쪽 두 꼭짓점을 T=(w−x,h/2)에 잇고 S와 T를 연결한다. 두 접속점은 서로 달라야 하므로 0≤x<w/2이다. 임의의 다른 배선이나 자유로운 접속점 위치까지 최적화하는 문제는 아니다.
0번은 긴 변 하나를 빼면 길이가 w+2h다. 1번의 네 선분은 각각 대각선의 절반이므로 합계는 2√(w²+h²)다. 2번의 길이는 다음과 같다.
이 식을 미분하지 않고 줄일 수 있다. 곱셈공식으로 두 양수의 제곱을 비교하면 다음 완전제곱식이 나온다.
따라서 2√(x²+h²/4)≥x+√3h/2이고, L₂≥w+√3h다. 등호는 x=h/(2√3)에서만 성립한다. 이 값은 w≥h 조건 아래에서 두 접속점이 서로 다른 허용 위치다. 여기까지는 전선 길이의 계산이다.
이제 비용까지 비교하자. 가로세로 비를 r=w/h, 접속점 비용을 세로 길이로 나눈 값을 k=κ/h라 놓는다. 모든 비용을 h로 나누어도 순서는 바뀌지 않는다.
접속점이 없는 0번의 비용은 k와 무관하다. 1번은 k만큼, 2번은 2k만큼 늘어난다. 중간 방식인 1번이 혼자 가장 싼 때를 찾으려면 나머지 둘을 동시에 이겨야 한다.
왼쪽 조건은 2번보다 싸다는 뜻이고, 오른쪽 조건은 0번보다 싸다는 뜻이다. 정사각형에서는 A(1)=2√2−1−√3≈0.0964, B(1)=3−2√2≈0.1716이다. 접속점 비용이 그 사이에 있으면 길이만 가장 짧았던 2번 대신 1번을 고른다.
직사각형을 조금씩 길게 만들면 이 구간은 계속 남을까? r≥1에서 A(r)>0이다. 그 이유는 4(r²+1)−(r+√3)²=(√3r−1)²>0이기 때문이다. 따라서 필요한 것은 A<B라는 조건 하나다. 양수끼리의 비교임을 먼저 확인하고 제곱하면, 다음 이차부등식과 동치가 된다.
작은 근은 1보다 작고 큰 근은 r_*≈1.084874다. 그러므로 1≤r<r_*에서만 1번이 혼자 가장 싼 비용 구간이 존재한다. 가로가 세로보다 약 8.49% 길어지는 경계를 넘으면, 1번은 어떤 비용에서도 가장 싼 선택이 되지 않는다. 그림이 거의 정사각형처럼 보여도 최적 선택의 구조는 달라질 수 있다.
동률도 빠뜨리면 안 된다. A+B=2−√3이므로 k₀=(2−√3)/2에서 0번과 2번의 비용은 언제나 같다.
| 가로세로 비 | 비용을 늘릴 때 최소가 되는 방식 |
|---|---|
| 1≤r<r_* | 2번 → 1·2번 동률 → 1번 → 0·1번 동률 → 0번 |
| r=r_* | 2번 → 세 방식 동률 → 0번 |
| r>r_* | 2번 → 0·2번 동률 → 0번 |
첫 행의 전환은 k=A와 k=B에서 일어난다. 둘째·셋째 행의 전환은 k=k₀에서 일어난다. 경계의 세 방식 동률과, 경계 뒤에서 1번이 동률로도 선택되지 않는다는 사실을 구별해야 한다.
교사는 먼저 길이, 비용, 허용된 연결 방식을 따로 적게 한다. ‘접속점이 많아지면 비용이 늘어난다’는 말만으로는 중간 방식이 선택되는지 알 수 없다. 두 비교 부등식을 동시에 만족하는 구간이 있는지, 직사각형의 비율이 바뀔 때 그 구간이 언제 사라지는지를 확인해야 한다.
이 계산은 세 후보를 비교하는 교육용 모형이다. 다른 연결망, 전기적 동작, 강도와 설치 안전, 실제 공사의 비용을 판정하지 않는다. 비누막 실험의 한 모양이 전체 최솟값을 보장한다고도 하지 않는다.
착안: Rohit Gurjar, IIT Bombay CS602, Lecture14의 PDF 1~3쪽 텍스트와 1·2쪽 전체 도판을 읽었다. 원전의 정사각형 최소 길이와 국소·전체 최솟값의 구별을 배경으로 삼았다. 알려진 Steiner 연결 길이 자체는 새 문항으로 세지 않는다. 여기서는 자체로 제한한 세 방식과 접속점 비용을 두고, 중간 선택지가 최적이 되는 구간의 존재·소멸과 모든 동률을 증명했다. 원문 그림·문항·실험 결과를 옮기지 않았다.