일직선의 위치 0과 2에 고정한 점광원 두 개를 생각한다. 밝기는 더할 수 있고 다른 배경이나 측정 오차는 없다. 두 번째만 어두워졌으며 아래는 자체 모형의 정확한 값이다.
| 위치 | 0 | 2 | 전체 밝기 |
|---|---|---|---|
| 변화 전 | 9 | 1 | 10 |
| 변화 후 | 9 | 1/2 | 19/2 |
밝기 중심은 위치×밝기의 합을 전체 밝기로 나눈 값으로 정의한다. 원래 밝기끼리 뺀 차의 중심은 어디인가? 각 영상을 먼저 총 밝기 1로 맞춘 뒤 뺀 차도 같은 방식으로 중심을 구할 수 있는가?
원래 밝기 차는 위치 0에서 0, 위치 2에서 1/2다. 그 총합은 1/2이고 차의 중심은 2다. 밝기를 잃은 광원의 위치를 정확히 가리킨다.
먼저 정규화하면 전 영상은 (9/10,1/10), 후 영상은 (18/19,1/19)다. 전에서 후를 뺀 결과는 (−9/190,9/190)으로 총합 0이다. 한 항은 음수이기도 하다. 이를 양의 전체 밝기를 가진 영상처럼 읽거나 분모 0인 밝기 중심을 계산할 수 없다.
전후 영상의 중심 자체는 1/5와 2/19이고, 변화 후 중심에서 변화 전 중심을 뺀 값은 −9/95다. 이 차도 광원 위치 2가 아니다. 중심을 각각 계산한 뒤 뺀 것과, 밝기를 먼저 뺀 영상의 중심은 다른 계산이다.
고정 광원 중 한 곳만 밝기가 감소하면 두 가중합의 차가 그 위치×감소량이고, 분모는 감소량이므로 이 식이 성립한다. 두 곳 이상이 함께 변하면 감소분들의 중심일 뿐 어느 한 광원의 유일한 위치라고 결론 낼 수 없다.
NASA의 차분 영상은 통과 안팎의 픽셀 밝기를 빼 변화 신호의 위치 정보를 살린다. 실제 원문은 픽셀 반응함수로 중심을 추정하며, 여기서는 그 방법을 구현했다고 하지 않고 두 점광원의 밝기 중심을 따로 정의했다. 실제 별 관측이나 행성 확인의 결론을 내리는 문제가 아니다.
교사는 정규화한 두 그림을 뺀 답에서 새 분모를 다시 합하게 한다. 각 그림의 합이 1이었다는 사실은 그 차가 확률분포나 양의 밝기 분포라는 보장을 주지 않는다. 무엇을 먼저 합하고 나누고 빼는지 기록해야 변화 위치라는 해석을 붙일 수 있다.
착안 원문: NASA/TP–2019–220320, Data Validation: Difference Imaging and Centroid Analysis. 두 점광원의 밝기와 표·변화 위치 계산은 자체 모형이며 실제 별 관측 자료나 행성 확인 결과가 아니다.