첫 버스 대기 확률이 같아도, 두 번째까지 평균 대기는 다를까?

자체 두 시간표는 아래 간격 순서를 계속 반복한다. 한 20분 주기 안에서 연속 균등 시각에 도착한다. W₁은 앞으로 첫 번째 버스, W₂는 앞으로 두 번째 버스가 도착할 때까지의 시간이다. 첫 버스를 일부러 놓쳐 다음 버스에 타는 실험은 아니며 두 도착을 각각 센다. 두 시간표의 W₁ 분포가 같으면 W₂ 평균도 같은가?

한 간격 안에 도착해 첫 버스를 기다리는 시간은 그 간격의 남은 길이다. 두 시간표는 길이별 개수가 같아서 첫 버스 대기의 모든 확률이 같다. 그러나 둘째 버스까지는 다음 간격 전체를 더 기다린다. 길이 Tᵢ인 현재 간격과 그 뒤 Tᵢ₊₁을 생각하면 현재 간격의 기여는 Tᵢ²/2+TᵢTᵢ₊₁이다. 첫 항은 남은 대기의 삼각형 넓이, 둘째는 다음 간격을 기다리는 직사각형 넓이다.

A의 인접 곱 합은 4+16+64+16=100이고 B는 16을 네 번 더해 64다. 그래서 두 번째 도착까지 평균은 A가 9/5분 더 길다. 주기 마지막 간격 다음에는 첫 간격이 이어져 그 곱도 빠뜨리지 않는다. 첫 대기의 평균뿐 아니라 전체 분포가 같아도, 이어진 두 사건의 대기는 순서를 새로 요구한다.

Masuda와 Porter가 설명한 다음 사건 대기는 한 간격 안의 남은 시간이다. 이 글은 그 뒤 한 간격을 더 포함하는 자체 두 사건 질문으로 확장했다. 실제 노선의 환승·만차·두 번째 버스 선택 전략을 평가하는 주장이나 원문 실험 결과는 아니다.

교사는 첫 버스에 관한 확률 그래프가 같은 사실을 유지한 채 어느 추가 정보에서 차이가 생기는지 찾게 한다. 간격들을 정렬하면 잔여대기 분포는 유지되지만 인접 곱은 바뀐다. 평균 간격 5를 두 번 더한 10분처럼 각 단계를 따로 무가중 평균 내면 연속 균등 도착의 선택 비중도 놓친다.

착안 원문: Naoki Masuda and Mason A. Porter (2021), The Waiting-Time Paradox. 두 반복 시간표와 첫째·둘째 도착까지의 대기 계산은 자체 모형이며 실제 노선의 환승이나 만차 관측 자료가 아니다.