일정한 평균 입력률 λ>0의 Poisson 신호를 받는 이상 연장형 계수기를 가정한다. 매 도착이 τ>0만큼 대기를 다시 시작하며 원문의 평균 기록률 관계를 사용한다. R은 한 번의 실제 표본값이 아니라 이 모형의 평균 기록률이다. λ₁과 λ₂의 R을 비교하고 가능한 R의 상한을 구하라. R만 주면 λ가 언제나 하나로 정해지는가?
첫 입력은 지수 인자가 1/2, 두 번째는 1/4이므로 기록률은 모두 (ln2)/(2τ)다. 두 번째 실제 평균 입력은 두 배지만 더 많은 신호가 대기를 다시 시작시켜 같은 기록률만 남는다.
u=λτ로 두면 τR=u e⁻ᵘ이고 미분값은 e⁻ᵘ(1−u)다. 0<u<1에서 증가하고 u>1에서 감소한다. 0과 양의 무한대 방향 모두 값이 0에 가까워져 u=1에서 전역 최대를 갖는다.
각 구간에서 연속·엄격 단조이고 양끝값이 0과 최대값이므로 최대보다 작은 모든 양의 평균 기록률은 두 가지의 입력을 갖는다. λτ≤1이라는 추가 범위가 있으면 그 범위에서는 하나로 역산된다. 상한보다 큰 평균 기록률은 주어진 이상모형·τ와 양립하지 않는다. 유한 표본 기록의 변동을 없앤 주장은 아니다.
실제 논문은 stationary Poisson 입력에서 연장형 대기의 평균 처리 관계를 준다. 여기서는 자체 두 입력의 정확 일치와 증가/감소 가지를 확인했다. 실제 장치가 이 이상형을 만족하거나 특정 관측의 낮은 값이 반드시 큰 입력 때문이라고 결론 내리지 않는다.
교사는 기록이 적다는 자료를 읽기 전에 응답함수가 전역 일대일인지 검사하게 한다. 가능한 출력범위 검사와 어느 입력 가지를 허용했는지는 다른 질문이다. 한 점에서 미분값이 0이라는 계산 뒤에 양끝 극한과 두 구간의 단조성을 남겨야 역산의 후보 수가 완결된다.
착안 원문: Pommé, Fitzgerald and Keightley: Uncertainty of nuclear counting (2015), sections 2.1–2.3. 원문의 이상적 평균 응답 관계를 이용해 두 입력률과 역산 가지를 자체 계산했으며 실제 계수 자료나 장치 성능을 보고한 것이 아니다.